在初中數學教學中運用“操作——猜想”嘗試體驗教學

俞平

摘要：：讓學生通過觀察具體圖形和動手實驗，在感性認知的基礎上提出合理的猜想，即“操作——猜想”，對加深學生認知與促進學生的直覺思維是相當有益處的，對培養學生的歸納思想與能力所起的作用更是妙不可言。提倡“操作——猜想”有利于培養學生的創造性思維，提高學生的自主性學習能力，讓學生真正自主地、快樂地學習數學。

關鍵詞：操作;猜想;體驗;思維;歸納;驗證

中圖分類號：G633.6 ? 文獻標識碼：A ? 文章編號：1992-7711（2019）03-0041

如何培養學生的創新意識與創新能力，是擺在我們每一位教學工作者面前的重要問題。傳統的數學教學往往只是填鴨式的教學，教師在課堂前的演繹、推理往往就讓學生“程序輸入”式地呆板接收，其效果如何呢？不言而喻，學生在自己解決問題時往往受到阻礙，解決不了困難。因為教師只是“授之以魚”而并未“授之以漁”。筆者在自己的教學實踐中發現：數學教學中，可借助于通過“操作——猜想”來培養學生自己解決問題的能力，提倡“操作——猜想”有利于培養學生的創造性思維，提高學生的自主性學習能力，心理學家皮亞杰認為“思維是從動作開始的，切斷了動作思維之間的聯系，思維就得不到發展”。依據初中學生現有的重建新知識體系的能力而言，他們是很難將重要的數學思想方法內化為自己的知識體系的，因此需要將猜想與動手操作有機結合起來。依據“操作——猜想”與體驗教學的相通性，我們不得不承認“操作——猜想”是數學教學中實施體驗教學的好方法。

一、“操作——猜想”促進直覺思維

《數學課程標準》指出：“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”;課程改革的核心理念是“以學生發展為本”，強調探索性教學。探索性教學首先要讓學生切身地有所體驗。所謂體驗就是指在教學中，讓學生通過切身實踐來掌握所要傳授的知識或技能，或是通過喚起學生以往的記憶表象來實施教學的方法。一切知識緣于實踐。體驗的過程就是實踐的過程，利用體驗的過程可以培養學生的實踐能力。體驗可以形成豐富的記憶表象，體驗教學的最終目的就是利用體驗所積累的現實經驗與豐富的表象儲備來發展學生的實踐能力與創造性思維。然后，以體驗積累起來的感性認識為基礎展開猜想。猜想是對研究的對象或問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納等，依據已有的材料知識作出符合一定的經驗與事實的推測性想象的思維方法。現代認知理論認為，學習是主體主動的意義建構活動，是主體頭腦里建立和發展數學認知結構的過程，是數學活動及其經驗內化的過程，而猜想是對抽象化的、形式化的數學進行思辨過程。

初中數學中的許多概念、性質、判定等知識，對于正處于由感性認識到理性認識轉化的初中生而言是比較抽象的。讓它們通過觀察具體圖形或實物模型和動手實驗，根據自己的觀察實驗，在感性認知的基礎上提出合理的猜想，對加深學生認知與促進學生的直覺思維是相當有益處的。

例如，教師在講授“等腰三角形的兩個底角相等”時，教師可先讓學生拿出已準備好的等腰三角形紙片，引導學生進行觀察并對兩個底角的關系進行猜想。學生通過自己的感官反應馬上得出“等腰三角形的兩個底角相等”，在教師的肯定與贊揚聲中，學生躍躍欲試，開始動手操作：有的拿出了量角器來進行測量，有的通過對折來看這兩個角能否重合……很快他們就找到了驗證自己猜想的方法，并自然而又深刻地掌握了這一性質。又如新授“三角形中位線”定理時，學生在了解了“連結三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線”之后，通過“畫一畫”“量一量”“看一看”的操作來猜想三角形中位線的性質，通過學生自己的觀察與測量得到了“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”，并饒有興趣地進一步推理論證該定理。在講授新知識的同時，讓學生體驗著知識本身的魅力與內心的喜怒哀樂，同時又培養了他們的直覺思維能力。

二、“操作——猜想”促進數學歸納

與整個數學體系所包羅的知識相比，初中數學所包含的知識只是這汪洋大海中小小的浪花。借助于這些知識載體，讓學生真正領悟其數學思想方法、培養學生的數學能力才是我們真正要做的。而“歸納”是數學思想和數學能力中很重要的一塊，“操作——猜想”這一形式對培養學生的歸納思想與能力所起的作用更是妙不可言。

例如，觀察下列圖形，并閱讀理解圖形下的有關文字：

那么n條直線相交，最多有_______個交點。

剛看到題目的時候，學生有些丈二和尚摸不著頭腦，于是教師可啟發學生：碰到這樣的難題，不妨可采用數學家華羅庚“先退后進”的思想，通過特例來研究考察事物的本質，從而歸納問題的規律和性質。于是引導學生動手畫一畫，用心數一數，學生在畫的過程中發現：當畫第二條直線時，我們發現已有直線一條，因此最多可有一個交點;當畫第三條直線時，最多可與原有的兩條直線相交并有兩個交點，因此一共有三個交點;……漸漸地發現，直線的條數與交點的個數是兩組很有規律的數據：

2 ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? ? ?6 …… ? ? ? ? ? ? ? ? n

1 ? 1+2 ?1+2+3 ?1+2+3+4 ? ?1+2+3+4+5…… ? ?1+2+3+……n-1

于是根據高斯定理，就可得：n條直線相交，最多可有n（n-1）/2個交點。在整個解決問題的過程中，學生從沒有頭緒到豁然開朗，正是操作起到了決定性的作用。

九年級應用題這一章節中，有一類“送禮物”“打電話”問題的應用題。學生學習的過程中，很難把握其規律。教師在新課引入時，可創設游戲情境：圣誕節即將來臨，希望每一位同學為其他同學準備一份禮物，請大家回去準備一下吧！一下子學生七嘴八舌地討論開了……這是學生生活中經常碰到的問題，他們對此很感興趣。于是教師又抽取了四位學生進行演示：四位同學要完成送禮物任務，大家看“每一位同學要準備幾份禮物，最后所有的同學將共送出幾份禮物？”很快地，學生發現：每位同學要準備的禮物數比人數少1，因此如果有n個學生的話，禮物的總數可歸納為n（n-1 ）。通過學生親身演示與體驗，把一個比較抽象的問題具體化、可操作化，這樣便于學生理解掌握。

歸納思想是初中階段重要的思想方法之一，通過“操作——猜想”，讓學生在動手過程中迸出智慧的火花，建立起猜想，從而激發進一步歸納的欲望，讓自己從特殊到一般，逐步歸納出更完美的結論。

三、“操作——猜想”促成類比思維

看到“鐵鍬鏟地”產生聯想類比，從而改進了建筑工地上的抓斗機。通過“操作——猜想”進行類比，根據兩個事物之間類似或是相同的特點，猜想出它的類似或相同的規律或性質。

教師新授等腰梯形的性質“同一底上兩個底角相等”時，完全可以啟發學生回憶學習等腰三角形性質時的方法：先讓學生觀察等腰梯形的兩個底角，后聯想學習等腰三角形的情形，用量角器測量、對折重合等方法，從而通過“類比——猜想”來得到等腰梯形“兩個底角相等”的性質。

教學中讓學生在“手腦并用”中體會“觀察——聯想——類比——猜想”的思想方法，無疑是一種行之有效的方法。

四、“操作——猜想”啟發驗證方法

很多時候，猜想是“跟著感覺走”的，不一定符合事實，故猜想的結果也就不一定可靠，因此不論你的猜想多么美妙，都需經過嚴格的驗證，才能肯定自己的猜想是否正確。

例如九年級復習課上，教師向學生出示了這樣一道習題：設 A、 B、 C、D 是四個居民小區，現要在四邊形ABCD 內部建一個購物中心，試問應把購物中心建在

何處，能使四個居民小區到購物中心的距離總和最小？

因為四邊形ABCD內有無數的點，學生很難找到確切的解決途徑。學生沒有通過動手操作，是很難想到從特殊的點出發，再進行猜想，然后再加以論證的。而當學生拿出筆和尺來，隨意地在四邊形內畫一畫時，還是能夠找到“對角線的交點P”這一比較特殊的點的。隨后，教師繼續提問：為什么這一交點肯定是到 A、B、C、D這四點距離之和最小的呢？然后進一步讓學生通過動手畫圖，在圈圈點點中學生發現：在四邊形ABCD內部的點可以分為兩類。一類是在線段AC與BD上的;一類是在四個小三角形內的。逐漸的，在一次又一次的畫圖中，進一步證實了只有P點才是符合要求的點。同時在測量中也已經發現可以利用“三角形兩邊之和大于第三邊”來進行嚴密地論證。

偉大的科學家牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就不會有偉大的發現。”正是有了勇敢而偉大的猜想，我們的生產水平、生活水平有了突飛猛進的提高。而我們的猜想也不是直觀而蒼白無力的主觀判斷，而是經過了觀察、動手操作、測量，運用了測量歸納、類比驗證等數學思想方法，我們的猜想是可靠而有價值的。在教學過程中，注重創設操作猜想情境，讓初中數學課堂教學以動手操作為基礎，以體驗樂趣為動力，以猜想為翅膀，飛向更廣闊的藍天。鼓勵學生參與學習、體驗學習，從而獲得成功之后的滿足與愉悅，讓學生真正自主地、快樂地學習數學。

參考文獻：

[1] 林志成.初中數學教學問題的設計[J].中學教研（數學），2005（5）.

[2] 劉 兼，孫曉天.數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

（作者單位：浙江省諸暨市濱江初級中學 311800）