數(shù)列問(wèn)題中的數(shù)學(xué)歸納法

☉江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 吳 浩

由于數(shù)列的自變量是正整數(shù)n，而數(shù)學(xué)歸納法正是用于證明關(guān)于正整數(shù)n的命題，因此它們之間有著“天然”的聯(lián)系，對(duì)于一些數(shù)列問(wèn)題，當(dāng)你從數(shù)學(xué)歸納法的角度去分析與思考，并輔以其他的數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，往往會(huì)“乘風(fēng)破浪，直達(dá)彼岸”.本文舉例說(shuō)明，以供讀者參考.

一、數(shù)學(xué)歸納法與分析綜合法強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手

用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)n的命題，從“P（k）”到“P（k+1）”，往往需要結(jié)合條件和結(jié)論，經(jīng)過(guò)分析綜合等邏輯推理使問(wèn)題得以解決.

例1已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，點(diǎn)（n，Sn）均在函數(shù)y=bx+r（b＞0且b≠1，b、r均為常數(shù)）的圖像上.

（1）求r的值；

（2）當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2（log2an+1）（n∈N*）.證明：對(duì)任意的n∈N*，不等式

解析：（1）由題意，得Sn=bn+r，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=bn-1+r，所以an=Sn-Sn-1=bn-1（b-1）.

由于b>0且b≠1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是以b為公比的等比數(shù)列.

解得r=-1.

（2）由（1）知an=2n-1，因此bn=2n（n∈N*）.所以要證明的不等式為

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立.

由①②可知，當(dāng)n∈N*時(shí)，不等式

點(diǎn)評(píng)：用數(shù)學(xué)歸納法解題的關(guān)鍵是第二步，難點(diǎn)也是第二步.在本題的證明中，證明成立是難點(diǎn).我們采用了分析綜合法來(lái)證明，降低了難度，從而順利地解決了問(wèn)題.

二、數(shù)學(xué)歸納法與放縮法共創(chuàng)輝煌

涉及關(guān)于正整數(shù)n的不等式，從“P（k）”到“P（k+1）”，要證明不等式A＜B成立，有時(shí)可以將它的一邊放大或縮小，再尋找一個(gè)中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法稱為放縮法.

例2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為為正整數(shù)）.

（1）令bn=2nan，求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；

因?yàn)閎n＝2nan，所以bn＝bn-1+1，即當(dāng)n≥2時(shí)，bn-bn-1＝1.

又b1＝2a1＝1，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.

由2＜2×1+1，22＜2×2+1，23＞2×3+1，24＞2×4+1，25＞2×5+1，…

可猜想當(dāng)n≥3時(shí)，2n＞2n+1.證明如下：

（1）當(dāng)n＝3時(shí)，由上述驗(yàn)算顯然成立.

（2）假設(shè)n＝k（k≥3）時(shí)，猜想成立，即2k＞2k+1.

則當(dāng)n＝k+1時(shí)，2k+1＝2·2k＞2（2k+1）＝4k+2＝2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1.

所以當(dāng)n＝k+1時(shí)，猜想也成立.

綜合（1）（2）可知，對(duì)一切n≥3的正整數(shù)，都有2n＞2n+1.

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用放縮法解題，要注意適度，放得過(guò)大或過(guò)小都不能達(dá)到解題的目的.

三、數(shù)列歸納法與函數(shù)思想珠聯(lián)璧合

猜想結(jié)論，并證明所猜想的結(jié)論，是數(shù)列中的一類探索性問(wèn)題，解答這類問(wèn)題時(shí)，一般先采用特殊化法猜想結(jié)論，此時(shí)要用到方程思想，然后再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法加以嚴(yán)格證明.

例3 是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式1·22+2·32+…（an2+bn+c）對(duì)一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論.

猜想：等式1·22+2·32+…+11n+10）對(duì)一切n∈N*都成立.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上述可知，等式成立.

（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，等式成立，

由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.

綜合（1）（2）可知，當(dāng)a=3，b=11，c=10時(shí)題設(shè)的等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立.

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)探索性命題，“歸納——猜想——證明”是一個(gè)完整的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的思維模式.

從以上幾個(gè)例子可以看出，數(shù)學(xué)歸納法作為數(shù)學(xué)解題的一種重要方法，在數(shù)列問(wèn)題中有著極其廣泛的應(yīng)用，但在運(yùn)用過(guò)程中，它從來(lái)不是“孤軍奮戰(zhàn)”，在面對(duì)具體問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)該選擇合理的“戰(zhàn)略伙伴”，只有這樣，才能讓數(shù)學(xué)歸納法發(fā)揮無(wú)比的威力.