立足高考題價(jià)值 探尋多角度解法

☉浙江省溫州市龍港高級(jí)中學(xué) 蔡南好

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是各類(lèi)考試中比較熱衷的考點(diǎn)之一，它是考查學(xué)生空間想象能力的重要知識(shí)載體.這就更需要我們多加研究，以便熟練地掌握立體幾何中位置關(guān)系的證明和空間角的求解方法.同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以從多方位、多角度、多層次入手，就會(huì)得到多種解題思路和方法，提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，從而提升數(shù)學(xué)解題能力，培養(yǎng)優(yōu)良的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例題（浙江省2018年高考數(shù)學(xué)第19題）如圖1，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2.

（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1；（略）

（Ⅱ）求直線(xiàn)AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.

（說(shuō)明：下文中θ均指直線(xiàn)AC1與平面ABB1所成的角）

思路1：線(xiàn)面角的定義：過(guò)斜線(xiàn)上除斜足外任意一點(diǎn)作面的垂線(xiàn)，連接垂足和斜足得斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則斜線(xiàn)與射影所成的角稱(chēng)為線(xiàn)面角.由線(xiàn)面角的定義可知，要求線(xiàn)面角，實(shí)際上只要知道點(diǎn)到面的距離即可.

解法1：由題意得CC1∥BB1，則CC1∥平面ABB1.所以點(diǎn)C1到平面ABB1的距離與點(diǎn)C到平面ABB1的距離相等.因?yàn)锽1B、CC1均垂直于平面ABC，易證點(diǎn)C到平面ABB1的距離為點(diǎn)C到邊AB的距離，即為

圖1

思路2：由思路1我們知道，求線(xiàn)面角即求點(diǎn)到面的距離即可.因此，我們可以通過(guò)過(guò)要求的點(diǎn)作已知平面的垂面，從而作出垂線(xiàn)，進(jìn)而得到垂線(xiàn)的長(zhǎng)度，最后解決問(wèn)題.

解法2：如圖2，過(guò)點(diǎn)C1作C1D⊥A1B1且交A1B1的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，連接AD.

由AB1⊥平面A1B1C1，

得平面A1B1C1⊥平面ABB1.

由C1D⊥A1B1，

得C1D⊥平面ABB1.

所以∠C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.

圖2

思路3：空間向量是有效解決立體幾何知識(shí)的重要工具，它可以把空間位置關(guān)系或空間角轉(zhuǎn)化為相關(guān)向量之間的位置關(guān)系或角度關(guān)系.這樣，我們就可以把題目中要求的量轉(zhuǎn)化為向量來(lái)進(jìn)行計(jì)算.

解法3：如圖3，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線(xiàn)OB，OC為x軸，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由（Ⅰ）可知

圖3

設(shè)平面ABB1的法向量為n=（x，y，z）.

因此，直線(xiàn)AC1與平面ABB1所成的角的正弦值是

思路4：由余弦定理這就是“萬(wàn)能”的對(duì)角線(xiàn)向量定理，利用這一結(jié)論我們可以快速地解決很多“難題”.

解法4：過(guò)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，則為平面ABB1的一個(gè)法向量，從而線(xiàn)面角可以轉(zhuǎn)化為的夾角.

思路5：三正弦定理可以很好地架起二面角與線(xiàn)面角之間的關(guān)系.如圖4所示，平面α∩平面β=l，A，B∈l，C∈α，CO⊥平面β，CB⊥l，垂足為B，則有sinγ=sin∠1·sin∠2.

圖4

解法5：過(guò)C作CG⊥AB，垂足為G，連接C1G，則∠C1GC為二面角C1-AB-C的平面角，易得∠C1GC為30°，則二面角C1-AB-A1的平面角大小為60°.

由三正弦定理得sinθ=sin∠C1AB·sin60°

思路6：三余弦定理可以很好地架起二面角與線(xiàn)線(xiàn)角之間的關(guān)系.如圖5所示，A，B，C∈α，O?平面α，OB⊥平面α，CB⊥AC，垂足為C，則有cosγ=cos∠1·cos∠2.

圖5

解法6：過(guò)C作CG⊥AB，垂足為G，由三余弦定理得：

通過(guò)“一題多解”可以將主干知識(shí)進(jìn)行“串聯(lián)”，同時(shí)“并聯(lián)”起數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)，開(kāi)拓學(xué)生的解題視野，有效促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的改善和創(chuàng)新發(fā)展能力的提升，使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，收獲成功的喜悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.

多角度解題是開(kāi)發(fā)智力、培養(yǎng)能力的一種行之有效的方法，它對(duì)溝通不同知識(shí)間的聯(lián)系、開(kāi)拓思路、培養(yǎng)發(fā)散思維能力、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣等都十分有益.在教學(xué)中，恰當(dāng)且適量的采用一題多解的方法來(lái)進(jìn)行思路分析，探討解題規(guī)律，能以少勝多的鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，掌握基本的解題方法和技巧，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)興趣.