巧妙解決應(yīng)用題，提高高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量

☉甘肅省高臺縣第一中學(xué) 呂小紅

高中數(shù)學(xué)是初等數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)的過渡期，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也有一定的要求，主要通過考查學(xué)生能否結(jié)合數(shù)學(xué)各方面的知識來解決綜合性的數(shù)學(xué)問題，從而來考查學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用能力.應(yīng)用題的分值比例較高，重在解決實(shí)際問題，涉及的數(shù)學(xué)知識點(diǎn)較多，并且覆蓋面較廣，其題型又多變，是高中數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生在解答過程中常常會覺得難以下手.

一、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題型分析

從歷年的數(shù)學(xué)高考情況來看，應(yīng)用題在考試中一直占據(jù)著絕對的比例分值，但是學(xué)生的平均得分普遍不高.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的知識點(diǎn)包括了數(shù)列、集合、函數(shù)方程、排列組合與立體幾何等，綜合應(yīng)用題就是由這些知識點(diǎn)相互交叉形成的.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的常見題型大致可以分為以下幾類：

1.立體幾何

立體幾何類的數(shù)學(xué)應(yīng)用題一般為線面距離、線面關(guān)系及線面夾角的求解，這種類型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題所涉及的其他板塊的數(shù)學(xué)知識較少，難度單一，題目的形式也較為固定，主要是考查數(shù)學(xué)的基本知識點(diǎn)與數(shù)形結(jié)合的思想.我們一般可以通過三維坐標(biāo)系進(jìn)行向量的運(yùn)算或者采用傳統(tǒng)的方法來進(jìn)行幾何證明.

2.復(fù)合式應(yīng)用題

復(fù)合式的應(yīng)用題通常是源于求解極值、最大利益、最省路程及最優(yōu)方案等實(shí)際問題，一般與不等式、函數(shù)極值及方程組密切相關(guān).這類題目會由于學(xué)生無法從已知信息中構(gòu)建數(shù)學(xué)模型或者不熟悉相關(guān)的概念而顯得比較棘手.

3.實(shí)際應(yīng)用題

增長率、產(chǎn)量及繁殖一般都與實(shí)際應(yīng)用題密切相關(guān)，其涉及的數(shù)學(xué)知識多為數(shù)列與排列組合，當(dāng)涉及與次數(shù)和時(shí)間相關(guān)的大題就會比較抽象紊亂，這也是學(xué)生容易出錯的地方，從而導(dǎo)致其在考試中的得分普遍偏低.當(dāng)其他學(xué)科也出現(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用題中時(shí)，例如計(jì)算山高和凈空高度測量等，這就要求學(xué)生要具備相應(yīng)的綜合學(xué)科能力.

高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用題考查的是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握程度與運(yùn)用情況，學(xué)生要做的就是從整體上進(jìn)行理解并把握，不能局限于碎片化的數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，然后進(jìn)行大量的習(xí)題練習(xí)，這樣才能在考試中順利解答各種題型的應(yīng)用題.

二、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題困難的原因

數(shù)學(xué)應(yīng)用題是讓學(xué)生利用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想去分析并解決數(shù)學(xué)問題，綜合考查學(xué)生的應(yīng)用能力與數(shù)學(xué)知識水平.學(xué)生在解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)經(jīng)常感覺吃力主要是由以下幾個(gè)方面的原因引起的：第一，在解題時(shí)存在對教師的依賴心理，教什么解題方法就用什么解題方法，也不去鉆研挑戰(zhàn)，因此無法形成有效的應(yīng)用題解題思維；第二，在遇到文字?jǐn)⑹鲚^長的應(yīng)用題時(shí)缺乏耐心，解題心態(tài)急躁，在對題意了解的不夠清楚的情況下就開始解題，因而導(dǎo)致錯誤率上升；第三，受教師長期慣性教學(xué)程序化的影響，形成了較為固定的解題習(xí)慣與思維模式，對應(yīng)用題型的變化適應(yīng)能力不足，因此造成解題困難.

三、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)方式

1.提高對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的審題能力

審題能力對學(xué)生解答應(yīng)用題來說至關(guān)重要，直接關(guān)系到能否正確解答出問題的答案.大多數(shù)同學(xué)因?yàn)闆]有正確地理解題意，從而造成失分.因此學(xué)生首先應(yīng)該正確理解題目所表達(dá)的意思，增強(qiáng)審題能力，從整體上了解題目所包含的知識點(diǎn)，為解題工作打下基礎(chǔ).條件和結(jié)論是審題中對于題目內(nèi)容的兩個(gè)理解點(diǎn)，這就要求學(xué)生合理地運(yùn)用自己所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，把未知轉(zhuǎn)化為已知，利用發(fā)散性思維來獲取更多的信息.

2.重視數(shù)學(xué)應(yīng)用題的典型例題

模仿是提高解題技巧的主要方式.學(xué)生可以把課本中的典型例題從考查的知識點(diǎn)到解題方式都完全掌握并學(xué)會運(yùn)用.例題在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中通常都把課本中所強(qiáng)調(diào)的知識點(diǎn)很好地表達(dá)出來且對我們的學(xué)習(xí)起著引導(dǎo)的作用，解題技巧、解題思路與解題計(jì)算等都可以通過典型例題來進(jìn)行更好的學(xué)習(xí)與掌握，因此掌握例題在我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中是十分重要的.

3.主動學(xué)習(xí)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)占據(jù)著主體地位，而教師只是起著引導(dǎo)的作用，因此學(xué)生應(yīng)當(dāng)積極發(fā)揮自主學(xué)習(xí)的能力，可以通過探究數(shù)學(xué)應(yīng)用題的典型例題或與同學(xué)交流解題技巧來培養(yǎng)自己的自主學(xué)習(xí)能力.

四、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題方法

1.把握題目的關(guān)鍵信息，找到解題的突破口

正確理解題意是我們解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵所在.學(xué)生如果無法做到正確理解應(yīng)用題的題意，那么在解題的過程中往往就會無從下手甚至南轅北轍.大多數(shù)學(xué)生存在這樣一種情況，覺得應(yīng)用題的題目太難，看不懂，但是教師稍微一點(diǎn)撥就覺得題目其實(shí)并不難，這是由于其審題能力太差造成的.大多數(shù)學(xué)生所認(rèn)為的審題都只是對題目所要表達(dá)的意思有一定的理解，然后對問題進(jìn)行分析.然而事實(shí)上，正確的審題方式是在把握住題目問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上再去探究解題的思路.所以，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中要對學(xué)生無法正確審題的原因?qū)ΠY下藥，從而培養(yǎng)學(xué)生解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力.

我們以下面的題目為例來說明該如何正確審題：一個(gè)梯形兩底邊的長度分別為12cm與22cm，梯形的一條腰被平均分成10份，然后畫10條直線平行于梯形的底邊，且過10個(gè)等分點(diǎn)，求夾在梯形兩腰之間的10條線段的總長度.

這是一個(gè)典型的審題型應(yīng)用題，大多數(shù)學(xué)生能夠很快地讀懂題意但卻不容易挖掘到題目中潛藏的信息.實(shí)際上，這10條夾在梯形兩腰之間的線段是一個(gè)等差數(shù)列，如果能挖掘到這個(gè)潛藏的知識點(diǎn)，解答這個(gè)題目就會變得輕而易舉.因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，還要注意引導(dǎo)學(xué)生通過已知的信息去探究潛藏的信息，然后進(jìn)行題目的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用發(fā)散性的思維來解決數(shù)學(xué)問題.

2.聯(lián)系生活實(shí)際，掌握解題思路與技巧

與實(shí)際生活逐漸接軌是近幾年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的趨勢之一，有些學(xué)生因?yàn)闊o法從生活中找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，因而面對這種題型時(shí)常常會覺得不知所措.針對這種情況教師可以引導(dǎo)學(xué)生不要把對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)僅停留在課本上，要學(xué)會與生活中的實(shí)際相聯(lián)系，學(xué)會轉(zhuǎn)化思維方式.例如，可以把具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)字問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題等，從而使題目變得簡單易解.

我們以下面的題目為例來說明聯(lián)系實(shí)際來解決數(shù)學(xué)問題：如圖1所示，ABCD是一個(gè)矩形的花園，現(xiàn)在要擴(kuò)建一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求D在AN上，B在AM上，且對角線MN要過C點(diǎn)，已知AD=2米，AB=3米，如果矩形AMPN的面積要大于32平方米，那么AN的長應(yīng)該在什么范圍內(nèi)？

圖1

這個(gè)應(yīng)用題很明顯把實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題結(jié)合在一起.這種題目在很多試卷中都很常見，因此學(xué)生應(yīng)當(dāng)在生活中多關(guān)注數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思想.大多數(shù)教師在應(yīng)用題的教學(xué)過程中忽略了題目的應(yīng)用性，只考慮到了解題方法和步驟而就題論題，這就使得應(yīng)用題失去了原本的趣味性.教師應(yīng)當(dāng)把生活作為一種數(shù)學(xué)教學(xué)的背景，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活且應(yīng)用于生活的特點(diǎn)，從而教會學(xué)生去聯(lián)系生活中的實(shí)際來解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題.

3.學(xué)會編題，提高綜合解題能力

高中生的學(xué)習(xí)任務(wù)繁重，細(xì)致地去做每道題的話會浪費(fèi)不少時(shí)間和精力.學(xué)生在做題時(shí)也會由于存在畏難的心理而去選擇自己會做的題目來做，有難度的就放在一邊不想去理會，長此以往，即使有大量的習(xí)題練習(xí)，數(shù)學(xué)解題水平還是無法提高.在這種情況下，教師可以鼓勵學(xué)生去自主編題，為了讓學(xué)生有一套適合自己的復(fù)習(xí)資料，可以讓學(xué)生把自己不會做的題目和做錯的題目記在數(shù)學(xué)筆記本里.這種自主編寫錯題難題的學(xué)習(xí)應(yīng)用題的方式在一定程度上可以有效地提高學(xué)生的綜合解題能力.在學(xué)生編寫應(yīng)用題的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況來編寫，還可以讓同學(xué)之間互相交換各自編寫的習(xí)題，一方面，可以幫助學(xué)生提高題庫含量，另一方面，可以讓別的學(xué)生審查題目的編寫是否嚴(yán)密.

我們以下面的題目為例來說明應(yīng)用題目的編寫：如圖2所示，拋物線拱橋的頂部距離水面為2米時(shí)，水面寬4米，當(dāng)水面下降1米時(shí)，問水面寬多少？

很明顯這個(gè)題目在于考查

學(xué)生對拋物線的性質(zhì)的掌握水平，學(xué)生可以以這個(gè)題目為基礎(chǔ)進(jìn)行改編，并通過編題來提升自己的思維方式.教師在這一過程中也應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生適當(dāng)?shù)墓膭睿瑥亩鴣砑ぐl(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.由于應(yīng)用題本身就是一種與實(shí)際相互聯(lián)系的題型，所以學(xué)生在編題的時(shí)候能夠發(fā)現(xiàn)很多平時(shí)做題沒有發(fā)現(xiàn)的問題，并且可以在很大程度上提高解題的規(guī)范性，并最終促進(jìn)解題思維的成熟化.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)應(yīng)用題占有重要的地位，研究數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題方法，不僅可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的分析與理解，還能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與綜合能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生高中學(xué)習(xí)的全面發(fā)展.

圖2