一道向量題的多角度思考

☉江蘇省太倉高級中學 趙福余

解題能力的提升就是提高解題長度的適應能力，可惜很多人一旦超過其極限，不是寫不出就是邏輯混亂.解決這個問題有三個方法：一是給出更多公式縮短解題長度；二是另辟蹊徑，轉換思考路徑；三是總結程序化的解題步驟，用搭積木的方式解題.用第一種方法應付高考，性價比不高，也不能提升學生的解題能力；用第二種方法應付高考對學生的要求較高，對一般學生來說不實用，但可以大大提升學生的解題能力；用第三種方法應付高考是最有價值，值得提倡的.

題目：如圖1所示，已知A，B，C是直線l上的三個點，P是直線l外一點，若AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，_____.（用a表示）

圖1

圖2

視角1：解析法

解法1：如圖2所示，以點B為坐標原點，直線l為x軸，建立直角坐標系xBy，此時點A，B，C的坐標分別為A（-a，0），B（0，0），C（a，0），設點P的坐標為（x，y），因為PA⊥PB，所以

實際上，如圖2所示，PB與PC的夾角為45°時，也可以用正切值表述，如tan則tan45°=tan（∠CPH-∠BPH）=代入解得x2+y2+ax=0；而若以P為坐標原點，PA，PB分別為x軸，y軸建立直角坐標系，化歸成解析幾何問題，大同小異，與上述解法類似.

視角2：三角法

解法2：令∠PBA=θ.

在直角△PAB中，PA=asinθ. ①

視角3：拆分向量

在拆分向量的過程中，若能充分利用好向量的數量積的幾何意義，也可有如下拆分：

圖3

視角4：幾何變換

解法4：如圖3所示，過點B作BD∥AP，得BD⊥PB.設PB=x，由∠BPD=45°，得BD=x，因為△PAC∽△DBC，所以即PA=2x，PC=在直角△PAB中，由勾股定理得，（2x）2+x2=a2，即

圖4

解法5：如圖4所示，過C，連接AD，則四邊形ADCP是平行四邊形，延長PB.因為B是AC的中點，所以PB必過D點.在等腰直角△PCD中，令CD=x，則在Rt△PAB中，由勾股定理得

解法6：如圖5所示，延長PD，過點C作CD⊥AP交AP的延長線于點D，令CD=PD=PA=x，所以，在直角

圖5

解法7：如圖6所示，過點C作AC的垂線交PB的延長線于點D，連接AD.因為∠APD=∠ACD=90°，所以A，P，C，D四點共圓，即∠CPD=∠CAD=45°，

圖6