高中數(shù)學含參問題求解策略例析

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 周 軍

在高中數(shù)學內(nèi)容體系中，含參問題不是單一的知識版塊，而是與許多知識點密切聯(lián)系，如解析幾何、函數(shù)、方程、不等式、線性規(guī)劃等.在解決含參問題時，需要根據(jù)具體的問題情景與涉及的知識點，運用常見的含參問題的求解策略進行解答，這樣才能從知識點的本質(zhì)層面解答好含參問題.本文以蘇教版高中數(shù)學為例，結(jié)合不同的知識案例來闡述常見的解題思路與方法，為廣大師生提供經(jīng)驗借鑒.

一、平面向量中的含參問題

平面向量是高中數(shù)學重要的知識內(nèi)容，是代數(shù)關(guān)系與空間關(guān)系的結(jié)合，也是后續(xù)解析幾何、立體幾何等內(nèi)容的重要基礎(chǔ).作為重要的考點，在平面向量的問題中經(jīng)常會出現(xiàn)參數(shù)，提升了對學生思維量的考核，求解難度較大，在江蘇省高考中經(jīng)常作為填空題的壓軸題出現(xiàn).下面筆者結(jié)合教學經(jīng)驗與具體案例列舉出兩種最為常見的解題思路與方法.

1.建立直角坐標系

一般來說，構(gòu)建直角坐標系是解決平面向量問題的通用解法，只要能夠在平面內(nèi)建立起坐標系，那么各個點的坐標就可以表示出來，與之相對應(yīng)的向量關(guān)系就可以得到確定.

【案例1】在四邊形ABCD中，已知邊AB與CD平行，AB的長度為CD的2倍，M與N分別為邊CD與BC的中點.現(xiàn)存在向量關(guān)系則λ+μ的值為______.

圖1

解析：因為這是一道填空題，因此可以將問題特殊化，假設(shè)四邊形ABCD是一個直角梯形，建立直角坐標系，如圖1所示.令CD的長為a，AD的長為b，則AB的長為2a.易知M點的坐標為N點的坐標為B點的坐標為（2a，0）.因為以將各點坐標代入，可得（所以有方程組

2.構(gòu)造向量基底

有時候構(gòu)建平面直角坐標系的運算量過大，難以快速求解出正確答案，那么可以嘗試構(gòu)造向量基底.這一方法也是解決平面向量含參問題的常用方法.在構(gòu)建向量基底時，需要結(jié)合平面向量的基本定理，根據(jù)確定的向量基底來表示題目所涉及的向量，由向量基底來表示已知條件中的各種向量關(guān)系，進而起到“消元”的作用，實現(xiàn)向量的統(tǒng)一.

【案例2】已知四邊形ABCD為菱形，邊長為2，∠BAD的大小為120°，E、F分別為邊BC與DC上的點，滿足數(shù)量關(guān)系BE=λBC，DF=μDC.如果向量試求解λ+μ的值.

圖2

總結(jié)：綜上所述，在解決含有參數(shù)的平面向量問題時，所涉及的知識點較多，解題的思路與方法也比較多樣.上述兩種方法比較常用，但是需要根據(jù)題目的實際情況，選用合適的方法，因此在日常的練習中要注意反思與總結(jié)，做到靈活變通.

二、不等式中的含參問題

1.逆向思維法

【案例3】已知不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5，若滿足該不等式的x的最大值為3，試求解參數(shù)p的值.

解析：本題是含絕對值的不等式問題，常規(guī)思路是去絕對值，那么就需要進行分類討論，因而解題過程就會變得很復雜.觀察題目可知，x的最大取值為3時不等式成立，也就是說該值是不等式解的端點值，從而x=3是等式|x2-4x+p|+|x-3|=5的一個解，代入可得p=8或p=-2.接下來進行分類討論：

如果p=8，那么不等式為|x2-4x+8|+|x-3|≤5.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，x2-4x+8在R上的最小值為4，大于0，因此絕對值符號可以去掉，不等式可以變形為：

解得x∈［2，3］，符合題意.

如果p=-2，那么不等式為|x2-4x-2|+|x-3|≤5，顯然x=5時不等式依然成立，與已知條件中的x的最大值為3相悖，因此p=8.

2.整體法

【案例4】已知函數(shù)（fx）=x，g（x）=x2+a（a≥0）.如果不等式≤1在x∈［1，2］上恒成立，試求解參數(shù)a的取值范圍.

三、線性規(guī)劃中的含參問題

在每年的高考中，線性規(guī)劃問題也是必考題型之一，而且經(jīng)常會出現(xiàn)含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，且參數(shù)出現(xiàn)的位置不唯一，可以在約束條件中，也可以在目標函數(shù)中，下面就結(jié)合具體習題進行說明.

1.約束條件中的參數(shù)問題

【案例5】已知不等式組所表示的平面區(qū)域是一個三角形，試求解參數(shù)a的取值范圍.

解析：由前三個不等式可以確定平面區(qū)域（圖3）.

圖3

圖中的△OAB，其頂點坐標分別為O（0，0），A（1，0），不等式x+y≤a所表示的是斜率為-1的直線及其左下方的平面區(qū)域.令y≤-x+a，將其從左至右平移，當直線經(jīng)過點A時，a=1；當直線經(jīng)過點B時，.顯然，當a的取值范圍為（0，1］時，所圍成的平面區(qū)域為三角形，符合題意；當a的取值范圍為時，所圍成的平面區(qū)域為三角形，符合題意；當a的取值范圍為時，所圍成的平面區(qū)域是一個四邊形，不符合題意；當a=0時，所圍成的平面區(qū)域為原點，不符合題意.綜上所述，a的取值范圍為

總結(jié)：在本題中，需要運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，借助動態(tài)思維來討論不同的情況.

2.目標函數(shù)中的參數(shù)問題

【案例6】已知不等式組標函數(shù)為z=ax+2y.如果當且僅當x=1，y=0時目標函數(shù)取得最小值，試求解參數(shù)a的取值范圍.

解析：根據(jù)不等式組確定圍成的平面區(qū)域，如圖4中陰影部分所示.已知z=ax+2y，可得該函數(shù)表達式的幾何意義是斜率為的一系列平行直線.如果函數(shù)z=ax+2y僅在x=1，y=0時取得最小值，那么直線故解得a的取值范圍為（-4，2）.

圖4

總結(jié)：在解決這道問題時，借助最值的成立條件來確定直線的位置，進而確定不等關(guān)系是關(guān)鍵.在直線旋轉(zhuǎn)的過程中，需要把握a的幾何意義及其臨界狀態(tài)所對應(yīng)的值.