解數(shù)學(xué)題的思維生長(zhǎng)點(diǎn)

☉安徽省金寨第一中學(xué) 吳述江

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)時(shí)刻刻離不開解題，而解題的關(guān)鍵在于審題，審題主要包括兩個(gè)方面：（1）審清題中已知條件、結(jié)論及各種量之間的關(guān)系.（2）迅速且正確地確定解題方法.而解題方法的選擇正確與否，直接關(guān)系到考試的成功與失敗：簡(jiǎn)單易行的解法不僅節(jié)約時(shí)間，也使考生在考試中樹立了信心，并且保持良好的心情，考出正常甚至超常的成績(jī)；由于錯(cuò)選或誤選解題方法，常常使解題不能進(jìn)行到底，同時(shí)會(huì)影響考生的情緒，因而考不出理想的成績(jī).下面我們從四個(gè)方面來(lái)探討如何尋找數(shù)學(xué)題的思維生長(zhǎng)點(diǎn).

一、題目的結(jié)論結(jié)構(gòu)特征是解數(shù)學(xué)題的思維生長(zhǎng)點(diǎn)

數(shù)學(xué)主要是通過(guò)解題來(lái)考查同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)、定義、定理的掌握程度，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.解數(shù)學(xué)題的每一步都離不開數(shù)學(xué)定義、定理及性質(zhì)，因而數(shù)學(xué)題中有意或無(wú)意，或明或暗，都反應(yīng)出定理、定義、性質(zhì)結(jié)構(gòu)等特點(diǎn).

例1已知a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R+，求證：

分析：從式子結(jié)構(gòu)上看與一元二次方程有實(shí)根的成立條件b2≥4ac類似，因此此題的思維生長(zhǎng)點(diǎn)是構(gòu)造一元二次方程且有實(shí)根.

證明：構(gòu)造方程：

又拋物線開口向上，所以拋物線與x軸有交點(diǎn)，即方程有實(shí)根，故推出Δ≥0，故原不等式成立.

例2求的最大值.

分析：從式子結(jié)構(gòu)看，其與向量模、復(fù)數(shù)模、兩點(diǎn)距離公式、勾股定理的式子結(jié)構(gòu)類似，因此可以轉(zhuǎn)化為記y=x2，轉(zhuǎn)化為求拋物線y=x2上的點(diǎn)P到A（3，2），B（0，1）的距離之差的最大值，因此f（x）=|PA|-|PB|，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，f（x）取得最大值

二、觀察特殊數(shù)字是解數(shù)學(xué)題的思維生長(zhǎng)點(diǎn)

由于普遍性總蘊(yùn)含于特殊性之中，所以我們常常會(huì)通過(guò)特殊數(shù)字得到啟發(fā)，從而發(fā)現(xiàn)思路.而特殊數(shù)字一般與公式中的數(shù)字、已知條件聯(lián)系密切.

三、利用等價(jià)轉(zhuǎn)換命題找到解數(shù)學(xué)題的思維生長(zhǎng)點(diǎn)

將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化可以達(dá)到由難到易、由繁到簡(jiǎn)，使條件與結(jié)論比較容易聯(lián)系和溝通，從而找到契機(jī).這種化歸與轉(zhuǎn)換思想是高考的重要思想之一，常有條件等價(jià)轉(zhuǎn)化、結(jié)論等價(jià)轉(zhuǎn)換、命題等價(jià)換化等.

例6已知a＞1，n∈N，n≥2，求證

分析：直接證明比較困難.若將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化：令則a=（t+1）n，于是原命題變?yōu)閚t＜（1+t）n-1，即證（1+t）n＞1+n（tt＞0），而此命題用二項(xiàng)式定理即可得證.

例7已知a，b，c∈R+，且

分析：此題看似難以入手，但若將命題轉(zhuǎn)化為求證：

例8設(shè)a，b，c為三角形ABC三邊的長(zhǎng)，求證：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（a+c-b）.

分析：此題看似難以找到突破口，但若令

則命題轉(zhuǎn)化為求證（m+p）（m+n）（n+p）≥8mnp，此命題用基本不等式即可得證.

四、利用不變量找到解數(shù)學(xué)題的思維生長(zhǎng)點(diǎn)

在解析幾何的某些動(dòng)態(tài)量中，隱含著不變量，而這種不隨其他量的變化而變化的量常常是解題的思維生長(zhǎng)點(diǎn).

例9已知直線mx+y+m-1=0（m≠0）與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.不確定

分析：直線恒過(guò)點(diǎn)（-1，1），而（-1，1）滿足1，所以點(diǎn)（-1，1）在曲線外部，因此交點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定，故答案選D.

例10直線l過(guò)（k≠0）的右焦點(diǎn)且與x軸垂直，l被截得的線段長(zhǎng)為8，則k=______.

綜上所述，快速選準(zhǔn)解題方法，既可以提高解題速度、節(jié)約時(shí)間，又可以樹立信心，是考生在高考中取得勝利的關(guān)鍵.