圓錐曲線解題四策略

☉江蘇省宜興市官林中學 蔣 敏

☉江蘇省宜興市官林中學 吳燕江

圓錐曲線是高中數學的一個重點內容，同時也是每年高考的一個熱點問題.我們在圓錐曲線的解題過程中，應盡量做到定義、方程、圖形、性質的有機聯系和對比，在聯系和對比中掌握重點，突破難點.下文舉例說明.

一、圍繞定義作文章

打開課本，我們發現教材都是從日常生活及實際應用出發，結合圖形給出了橢圓、雙曲線、拋物線的第一定義；同時又用動點與定點的距離和它到定直線的距離的比為常數根據e與1的大小關系給出了圓錐曲線的統一定義.因此解題過程中應緊扣定義，利用好第一定義和統一定義，許多疑難問題則可迎刃而解！

點評：此題是雙曲線中有關焦點三角形的問題，解題時應充分利用雙曲線的定義及三角形的特征.除上述解法外，還可以先設出雙曲線的方程，再利用條件=2求出點M的坐標，然后通過將點M的坐標代入雙曲線方程，從而求出a2.

二、巧思妙想求方程

平面解析幾何研究的一個主要問題是：根據已知條件，求出表示平面曲線的方程.高考中經常考查軌跡方程這一知識點，這就要求同學們在平時的訓練中，不僅要熟練掌握定義法、直譯法、相關點法、待定系數法等常用方法，更應積極思考，巧妙利用平面向量，注意解題思維的優化創新.

例2 已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|=求橢圓的方程.

點評：本題中若直接利用根與系數的關系將x1+x2和x1x2代入弦長公式，則可預見運算量較大，不代先算，既體現思維的整體性，又體現運算的合理性、策略性、簡捷性.本題也可先利用根與系數的關系將x1+x2和x1x2代入（*），化簡得m+n=2，再分別化簡根與系數的關系和弦長公式，這樣的運算順序也可達到簡捷的目的.

三、優化思維導性質

平面解析幾何研究的另一個主要問題是：通過方程，研究平面曲線的性質.每年高考中涉及焦點、離心率、準線、漸近線等性質的選擇、填空題還真不少！這就要求同學們在掌握基本幾何性質的基礎上，更應該發散思維、優化思維，既要保證正確率，又要節省時間.

例3若雙曲線（a>0，b>0）的兩條漸近線互相垂直，則其離心率e=（ ）.

解析：因為等軸雙曲線的離心率且兩條漸近線y=±x互相垂直，反之亦成立.所以選C.

四、數形結合探思路

大家知道，解析幾何是運用代數方法來探究幾何問題，在探究幾何圖形時，往往運用了坐標法，但由于幾何研究的對象是圖形，而圖形的直觀呈現性會幫助我們發現問題，啟發我們探尋解題的思路，找到解決問題的有效方法，所以，在解決解析幾何問題時，要注意觀察、分析圖形的特征，將形與數結合起來.

圖1

例4已知橢圓C的方程為的兩條漸近線方程為l1，l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l與l2交于點P，設l與橢圓C的兩交點從上至下依次為A，B（如圖1），求的最大值，以及取得最大值時橢圓C的離心率e的值.

解析：這道題的幾何條件關系雖然已經很明確了，但相對而言還是比較繁雜，如直接運用兩點間的距離公式來構建比值求最大值，不難發現，非常煩瑣.應先將目標比值通過化歸思想等價轉換為與點F相關的比值，再運用“降維”的理念，把條件轉化為求y軸上的坐標關系.而這些都建立在數形結合的基礎上.

點評：解析幾何是用代數的方法來研究并解決幾何問題，自然離不開計算，更離不開圖形.故應充分利用圖形，將其轉化為代數關系.

當然，圓錐曲線的解題策略遠不止以上提及的四點，但無論采用何種策略，將圖形關系轉化為代數關系，并進行合理的計算，是永遠不變的“策略”.