多管齊下妙發力，探求數量積最值
——一道2018年上海高考題的探究學習

☉江蘇省寶應縣安宜高級中學 季 峰

2018年高考過后，數學風云變幻，問題創新無限，原創名題如云，方法美不勝收，特別是一些難度不大的題目，有時也是耳目一新.例如2018年高考上海卷第8題，背景簡單，交匯合理，立意新穎，思想豐富，特別是題目巧妙設置有“靜”與“動”、“定值”與“最值”等矛盾的統一體，使得問題更有品味，破解難度不大，切入點也比較多，是高考眾多名題中的一大精品，具有非常好的學習、觀摩、研究、探究、拓展等價值.

一、問題呈現

【問題】（2018年上海卷8）在平面直角坐標系中，已知點A（-1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個動點，且最小值為______.

本題是以平面直角坐標系為問題背景，借助點的坐標、平面向量的坐標表示、動點的特征、兩點間的距離公式、平面向量的數量積來共同構造此題目，借助平面向量的坐標運算、線性運算，結合二次函數的圖像與性質或基本不等式等工具性的知識來確定相應的最值問題.題目難度不大，但知識交匯與融合巧妙，拼湊合理有序，是一道考查知識與能力俱佳的題目.

二、多解思維

根據題意可設E（0，a），F（0，b），從而得出|a-b|=2，即a=b+2，或b=a+2，可求得將a=b+2代入上式即可求出的最小值；同理將b=a+2代入，也可求出的最小值.

解法1：根據題意，設E（0，a），F（0，b），a，b∈R，則

故答案為：-3.

根據題意可設E（0，t），F（0，t±2），根據對應向量的坐

故答案為：-3.

根據題意取坐標原點O，通過平面向量的線性運算來轉化相應的向量結合平面向量的數量積運算得到利用來確定相應的數量積取得最小值時必須使得E、F位于坐標原點O的兩側，結合數量積的定義及基本不等式的應用來確定相應的最值問題.

故答案為：-3.

根據題意取坐標原點O，通過平面向量的線性運算來轉化相應的向結合平面向量的數量積運算得到過數形結合來直觀判斷當E、F位于坐標原點O的兩側，且當1時取得最小值.

故答案為：-3.

總評：無論通過平面向量的坐標運算還是線性運算來切入，都離不開平面向量的數量積的定義或坐標公式的轉化，為進一步借助二次函數的圖像與性質或基本不等式來確定相應的最值提供條件.特別在處理平面向量的數量積的最值時，二次函數與基本不等式是常見的兩類工具，有時還借助平面幾何圖形加以數形結合來直觀確定.

三、變式拓展

探究1：保留題目背景，改變原來在坐標原點異側的點A、B的位置為同側，從而得以變式.

【變式1】在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個動點，且，則的最小值為______.

解析：根據題意2，設E（0，t），F（0，t±2），t∈R，

故答案為：1.

探究2：保留題目條件，改變其中兩動點的距離2為一般性的常數表示，從而得以變式.

【變式2】在平面直角坐標系中，已知點A（-1，0），B（2，0），E、F是y軸上的兩個動點，且的最小值為______.

四、規律總結

其實，在平時解答數學問題時，要多加反思及總結，不能僅僅停留在問題破解的初級階段，還要進一步認真審題，看清問題的本源，回歸知識的本來面貌，剖析方法的多樣性與快捷性，這樣才能有助于我們更好地、更簡潔地解決問題，提升能力，培養素養.正如羅增儒教授說過：“一旦獲解，就立即產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，無異于入寶山而空返.”