分式最值巧求解，配湊方法妙拓展
——一道江蘇橢圓的探究學(xué)習(xí)

☉江蘇省張家港高級(jí)中學(xué) 黃 波

在破解一些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們經(jīng)常嘗試追求更加簡(jiǎn)單快捷的破解方法，也嘗試追求利用同一種技巧方法來(lái)破解同類題型，從而形成方法體系.下面結(jié)合2019屆江蘇省高考模擬題中的一道與橢圓有關(guān)的分式最值問(wèn)題的破解與拓展來(lái)進(jìn)行探究學(xué)習(xí).

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

【問(wèn)題】（2019屆江蘇省南通海安市高三上學(xué)期期末考試·14）設(shè)P（x，y）為橢圓在第一象限上的點(diǎn)，的最小值為______.

題目看似簡(jiǎn)單，但破解起來(lái)難度比較大，而且在利用相關(guān)知識(shí)破解問(wèn)題的過(guò)程中還比較容易出錯(cuò).解題時(shí)應(yīng)把相應(yīng)的分式最值問(wèn)題與橢圓方程加以有效的聯(lián)系，從而建立起相互之間的橋梁，為確定分式的最小值提供條件.

二、多法破解

結(jié)合橢圓方程的性質(zhì)確定x+2y＞4，結(jié)合柯西不等式確定x+2y≤8，進(jìn)而引入?yún)?shù)t=x+2y-4，結(jié)合權(quán)方和不等式的應(yīng)用，以及參數(shù)的代換，再利用基本不等式的轉(zhuǎn)化來(lái)確定分式的最小值問(wèn)題.

令t=x+2y-4，由4＜x+2y≤8，可得0＜t≤4.

故填答案：4.

結(jié)合橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行三角換元，結(jié)合分式代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化得到相應(yīng)的三角關(guān)系式，通過(guò)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)為零的求解來(lái)確定相應(yīng)三角關(guān)系式的最值，進(jìn)而得以確定分式的最小值問(wèn)題.

故填答案：4.

結(jié)合橢圓方程的轉(zhuǎn)化，利用分式代數(shù)式的變形并巧妙配湊，利用基本不等式的轉(zhuǎn)化來(lái)確定分式的最小值問(wèn)題.

三、問(wèn)題串聯(lián)

探究1：保留題目條件，改變相應(yīng)的分式表達(dá)式，結(jié)合兩對(duì)應(yīng)分式分別引入常數(shù)進(jìn)行“雙變量”的巧妙配湊，從而得到以下變式.

故填答案：8.

探究2：保留題目條件，改變相應(yīng)的分式表達(dá)式，分別借助三次基本不等式的應(yīng)用，以及引入常數(shù)進(jìn)行“單變量”的巧妙配湊，從而得到以下變式.

為了消去一次項(xiàng)，令18-6μ=0，解得μ=3.

故填答案：7.

探究3：改變題目條件，引入高次方程，結(jié)合兩對(duì)應(yīng)分式分別引入常數(shù)進(jìn)行“雙變量”的巧妙配湊，從而得到以下變式.

故填答案：371.

四、規(guī)律總結(jié)

在追求破解數(shù)學(xué)問(wèn)題的道路上，我們不能停留在解決問(wèn)題的初步階段，還要認(rèn)真審題，看清問(wèn)題的本源，尋找條件與題設(shè)之間的鏈接與關(guān)系，尋找同一類型的問(wèn)題之間的聯(lián)系與差別，這樣才能有助于我們更好地、更簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題.我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)與練習(xí)過(guò)程中要注意積累與總結(jié)，厚積薄發(fā)，定能以簡(jiǎn)馭繁.