不定方程教學探討與解題策略研究

☉江蘇省常熟市王淦昌中學 郭 貞

對于高中數學中的不定方程問題，教師要將教學重點放在引導學生理解題意，根據相關的知識內容靈活應用不定方程的解題思路與方法，來提高解題的正確率與效率.教師要引導學生整理不同問題的常用思路與解題方法技巧，加深學生對不同問題背景下的不定方程的理解，幫助學生掌握處理問題的基本思路，提升學生的轉化、分析與獨立思考的能力.

一、數列問題中的不定方程

在高中數學中，數列是重要的內容版塊，也是學生后續學習高等數學的重要基礎.在高考中，一類重要的數列考試題型就是基于數列基礎知識的不定方程整數解問題，這類問題對學生的思維要求較高，需要學生去發散思維，綜合考量.

【案例1】已知數列{an}的前n項和為Sn，首項a1=3，滿足關系Sn+1+Sn=2an+1，試求解該數列的通項公式an及前n項和Sn.

解析：由題干信息可知，Sn+1+Sn=2an+1，將首項a1=3代入表達式中可知，a2=6.當n≥2時，有Sn+1+Sn=2an+1，Sn+Sn-1=2an，兩式相減可得an+1+an=2an+1-2an，因此可得an+1=3an.因此當n≥2時，數列{an}為等比數列，通項公式為an=6·3n-2=2·3n-1（n≥2）.當n=1時，a1=3.因此，數列{an}的通項公式為在求解Sn時，若n=1，Sn=3；若n≥2，Sn=3n.綜上所述，Sn=3n.

總結：本題是數列與不定方程結合的經典案例，通過求解可以發現，學生如果對數列常見的公式形式比較熟悉，那么在解題之前就會了解大概是什么形式的數列，相應的解題速度就會加快，目標也更為明確.

【案例2】已知數列{an}與{bn}，a1=2，b1=4，滿足an、-bn、an+1成等差數列，bn、-an、bn+1也成等差數列.

（1）試證明數列{an+bn}為等比數列；

解析：（1）因為an、-bn、an+1成等差數列，所以an+an+1=-2bn.

同理，因為bn、-an、bn+1成等差數列，所以bn+bn+1=-2an.

將兩式相加可得an+1+bn+1=-3（an+bn）.

因為a1+b1=2+4=6，

所以數列{an+bn}是首項為6、公比為-3的等比數列.

（2）由問題（1）所得的結論可知，an+bn=6·（-3）n-1.

因為an+an+1=-2bn，bn+bn+1=-2an，所以兩式相減可得an+1-bn+1=an-bn=-2.

因為m為正整數且m≤100，所以2≤（-3）n-m+1≤101.所以可得n-m+1的取值為2或4.

若n-m+1=2，m+1=9，則m=8，n=9，與題意相符；

若n-m+1=4，m+1=81，則m=80，n=83，與題意相符.

所以數對（8，9）與數對（80，83）符合條件.

總結：本題是限定范圍來進行求解，在解決這一類問題時，需要根據題目已知信息構造不等式，從而確定變量的范圍，得到可能的整數解，之后再將可能的解代入原方程求解，從而得出剩下的變量.

二、計數問題中的不定方程

1.限制條件下的不定方程（組）問題

【案例3】在一場歐冠比賽前，某俱樂部教練計劃通過三場訓練賽來考察P1，P2，…，P7這7名球員的競技狀態.假設每場比賽的時長為90分鐘，無換人名額限制，在比賽的任何時刻，這7名球員僅能有1人在場上，并且滿足P1，P2，P3，P4這4名球員每人的總出場時間為7的整數倍，P5，P6，P7這3名球員每人的總出場時間為13的整數倍，試討論共有幾種不同的人員安排情況.

解析：假設第i名球員的出場時間為xi分鐘，i∈［1，7］且i為正整數，本題就轉化成求解不定方程x1+x2+…+x7=270在條件“P1，P2，P3，P4這4名球員每人的總出場時間為7的整數倍，P5，P6，P7這3名球員的總出場時間為13的整數倍”下的正整數解.因此，問題可轉化為x1+x2+x3+x4=7m，x5+x6+x7=13n（m≥4且m為正整數，n≥3且n為正整數）.易知，m、n就是不定方程7m+13n=270在條件m≥4且n≥3下的一組解解得n的取值范圍為［3，18］且n為正整數，可以得到方程的三組正整數解為m=33，n=3；m=20，n=10；m=7，n=17. 設xi=7yi，i∈［1，4］；xj=13yj，j∈［5，7］.因此本題就轉化成為求解以下三個方程組：

2.排列組合計數問題

排列組合中的計數問題可以借助不定方程整數解來進行求解，常見的題型就是相同元素的有序分配問題.

【案例4】將2016個相同的小球分別放進10個不同的盒子里，滿足第i個盒子里至少有i個球（i=1，2，…，10）.求一共有多少種不同的放置方法.

解析：已知條件中的“相同的小球”說明是無序放置，也就是組合問題.假設先在第i個盒子放進i個球（i=1，2，…，10），也就是第一個盒子里放進去1個球，第二個盒子里放進去2個球，以此類推.第一輪放置完畢后，共放了1+2+…+10=55個球，剩下來1961個.這道題就變成了將1961個球無序放進10個不同的盒子里，不一定保證每一個盒子都放進球，轉化成不定方程就是求解x1+x2+…+x10=1961的非負整數解，計算可得共有種不同的放置方法.

【案例5】某機場共有1號至4號共4個入口，每個入口每次只能進一個人.小明一家4口人進站，共有多少種不同的方案.

解析：假設4個入口分別進x1，x2，x3，x4個人，易知存在數量關系x1+x2+x3+x4=4且xi≥0.該不定方程的非負整數解的個數為C也就是無序狀態下共有種進站方案.但是，對于每個個體而言，進哪一個入口又是不一樣的，因此這個問題是排列問題，即有序.因此共有（種）進站方法.

三、結束語

無論是日常教學還是在高考中，不定方程都不是單獨出現的，大多數情況下都會與數列、計數問題等相結合，解法比較靈活.本文列舉的不定方程問題涉及幾種常見的情形與思路方法.在應用時，還是需要根據不同的問題情境選用合適的方法來進行靈活的處理.