以問題為導向，實施有效探究
——以橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的探究為例

☉廣東省深圳市高級中學 高 軍

素養(yǎng)導向的高考命題注重科學探究能力的考查.通過創(chuàng)設新的問題情境，變換設問角度和知識的組合方式，考查學生的科學探究能力.探究性教學是教師創(chuàng)設一定的問題情境，讓學生自主參與的學習過程.本文以問題為導向，由淺入深，由簡單到復雜，由特殊到一般，層層遞進，遵循學生的認知規(guī)律，展示了橢圓內(nèi)接三角形面積最大值的一種探究過程，與同行交流.

問題1：在橢圓上存在三點A，B，C，若AB⊥x軸且△ABC的重心為坐標原點O，求△ABC的面積.

探究：由AB⊥x軸且△ABC的重心為坐標原點O，易得C

問題2：在橢圓上存在三點A，B，C，且△ABC的重心為坐標原點O，求證：△ABC的面積為定值.

探究：當直線AB的斜率不存在時，由問題1得△ABC

設原點O到直線AB的距離為d1，點C到直線AB的距離為d2，則故△ABC的面積為為定值.

結(jié)論1：在橢圓a＞b＞0）上存在三點A，B，C，且△ABC的重心為坐標原點O，則△ABC的面積為定

問題3： 已知橢圓作垂直于 軸的直線x與橢圓E交于A，B兩點，點C位于橢圓E上，求△ABC的面積的最大值.

探究：（1）設直線AB的方程為x=t，代入不妨設-2＜t≤0，則點C位于橢圓右端點時，△ABC的面積最大

問題4：已知橢圓E，作直線y=kx+m（m≠0）交橢圓E于A，B兩點，設AB的中點為M，延長MO交橢圓于點C，求△ABC的面積的最大值.

結(jié)論3：已知橢圓E：，作直線y=kx+m（m≠0）交橢圓E交于A，B兩點，設AB的中點為M，延長MO交橢圓于點C，則△ABC的面積有最大值此時△ABC的重心為坐標原點O.

問題5：已知橢圓，求內(nèi)接于橢圓的△ABC面積的最大值.

探究：（1）若直線AB的斜率不存在時，由結(jié)論2得△ABC面積的最大值為，此時△ABC的重心為坐標原點O.

（2）若直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，將y=kx+m代入a2m2-a2b2=0.