函數f（x）=sinx-ax（a是已知數）的零點個數*

☉北京豐臺二中 甘志國

當a是已知數時，如何求函數f（x）=sinx-ax的零點個數，這是一個棘手的問題，文章將巧妙解決這一問題.

定理：（1）當|a|≥1時，函數f（x）=sinx-ax有唯一零點，且為0.

（2）當a=0時，函數f（x）=sinx-ax有無窮多個零點，且為kπ（k∈Z）.

①若m∈N*，則函數f（x）=sinx-ax的零點個數是4m-1；

②若m?N*，則函數f（x）=sinx-ax的零點個數是4［m］+1.

①若n∈N*，則函數f（x）=sinx-ax的零點個數是4n+1；

②若n?N*，則函數f（x）=sinx-ax的零點個數是4［n］+3.

證明：（1）當a≥1時，f′（x）=cosx-a≤0，所以f（x）是減函數；當a≤-1時，f′（x）=cosx-a≥0，所以f（x）是增函數.故得f（x）是單調函數，因而欲證結論成立.

（2）顯然成立.

（3）如圖1所示，若直線y=ax與曲線y=sinx（2kπ＜x≤（2k+2）π，k∈N） 相切，可得切點 的橫坐標 x0∈=k+1.

圖1

當［m］∈N*時，因為關于t的方程的根分別-1＜a＜0）是增函數，可得t［m］-1＜a＜t［m］，此時直線y=ax在兩條切線之間，進而可得（fx）=sinx-ax的零點個數是4［m］+1.

（4）如圖2所示，若直線y=ax與曲線y=sinx（2kπ＜x≤（2k+2）π，k∈N） 相切，可得 切點的橫坐標 x0∈所 以x=2kπ+arccosa，0

圖2

當［n］∈N*時，因為關于t的方程+1（0＜t＜1）的根分別是t［n］，t［n］+1，再由y（0＜a＜1）是減函數，可得t［n］+1＜a＜t［n］，此時直線y=ax在兩條切線之間，進而可得（fx）=sinx-ax的零點個數是4［n］+3.