尋找問題關鍵點，多角度合理轉化
——對一道解三角形模擬題的深度學習

☉江蘇省太倉高級中學 陳 健

三角形中的線段、角等元素的定值、最值或取值范圍問題是解三角形問題中的重點與難點之一，也是新課標大綱在“知識點交匯處”命題的充分體現的一大主要陣地，一直是歷年高考、競賽命題中的基本考點和熱點之一.此類問題往往設置巧妙，形式活潑多樣，有時條件極為簡單，有時條件知識交匯點眾多，題目難度往往比較大，同時解決此類問題的思維方式多變，破解方法也多種多樣.

一、問題呈現，尋“關鍵點”

問題在銳角△ABC中，BC=2，sinB+sinC=2sinA，則中線AD長的取值范圍是______.

本題條件十分簡單，結合銳角三角形的條件、三角形的一邊長及三內角正弦值的代數關系式，進而確定出中線長的取值范圍問題.如何借助條件中涉及三內角正弦值的代數關系式，轉化為對應邊的代數關系式，再進一步轉化為中線AD長的關系式或是幾何直觀模型，這是破解問題的關鍵所在.

二、多角度分析，合理轉化

角度1：根據正弦定理的轉化得到b+c=2a=4，結合條件及余弦定理，并通過消元轉化為求解涉及參數c的不等式，進而確定參數c的取值范圍，根據余弦定理來建立涉及中線的關系式，利用互補的兩角的余弦值互為相反數加以轉化，得到中線長的平方關于參數c的二次函數問題，結合給定區間的二次函數的圖像與性質來確定取值范圍，進而得以確定中線AD長的取值范圍.

解法1：設△ABC的外接圓半徑為R，BC=a，AC=b，AB=c.

而b2+c由于△ABC為銳角三角形，結合余弦定理可得b2+4＞c2，c2+4＞b2.

所以有（4-c）2+4＞c2，c2+4＞（4-c）2，聯立解得

設AD=t，根據余弦定理，可得c2=t2+1-2tcos∠ADB，b2=t2+1-2tcos∠ADC.

以上兩式對應相加，可得b2+c2=2t2+2.

角度2：根據正弦定理的轉化得到b+c=2a=4，結合條件及余弦定理，并通過消元轉化為求解涉及參數b的不等式，進而確定參數b的取值范圍，根據平行四邊形四邊對角線平方和定理可得4AD2+4=2（b2+c2），轉化可得中線AD長的平方關于參數b的二次函數問題，結合給定區間的二次函數的圖像與性質來確定取值范圍，進而得以確定中線AD長的取值范圍.

解法2：設△ABC的外接圓半徑為R，由sinB+sinC=2sinA，結合正弦定理可得 2則有b+c=2a=4.

根據平行四邊形四邊對角線平方和定理可得4AD2+4=2（b2+c2）.

三、變式研究，觸類旁通

探究1：保留原問題的條件，直接把條件中三內角正弦值的代數關系式sinB+sinC=2sinA，轉化為對應邊的代數關系式b+c=2a，從而得到變式1.

【變式1】在銳角△ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a=2，b+c=2a，則中線AD長的取值范圍是______.

解析：可以直接參照原問題的解法即可得到中線AD長的取值范圍是，故填答案：

探究2：保留原問題的條件，引入常數λ，把問題一般化，從而得到變式2.

【變式2】在銳角△ABC中，BC=2，sinB+sinC=λsinA（常數λ，則中線AD長的取值范圍是______.

解析：設△ABC的外接圓半徑為R，由sinB+sinC=λsinA（常數λ＞結合正弦定理可得，則有b+c=λa=2λ.

四、規律總結，反思提升

解決完一道題之后，只有深入反思，才能促成深度學習的發生.此題是一道解三角形中的范圍問題，思考路徑如圖1：

圖1

在探求三角形中相關參數（包括線段的長度、角的角度）、三角關系式的取值范圍、最值及定值等問題中，可以有效地發現三角形中的邊、角等知識之間的內在聯系與變化規律，從而加強對相關內容的有效綜合與合理轉化，進而加以正確地理解與掌握相關的知識與破解的方法，這樣有助于數學解題能力與應用能力的提高，真正提升數學能力，拓展數學素養.