多點開花，巧妙處理
——以一道2018年高考數列題為例

☉江 蘇 省 儀 征 中 學 鄧迎春

☉南京師范大學第二附屬中學 張曉飛

“觀察可能導致發現，觀察將提示某種規則、模式或定律.”——美國著名的數學教育家G·波利亞.

在解決2018年高考浙江卷第10題的數列問題時，通過深入觀察，多向思維，看似平常的一道等比數列相關項的大小判定問題，卻獨具匠心，充分體現出命題者“以能力為主”、“在知識網絡的交匯點處設計試題”的命題本色，以平常心考查數學能力與數學素養.

【高考真題】（2018年浙江卷10）已知a1，a2，a3，a4成等比數列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）.若a1＞1，則（ ）.

分析：本題涉及等比數列與對數函數，利用兩者之間的交匯來確定等比數列中的相關項的大小判定.如何在等比數列的背景下，結合對數關系式a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）來轉化，這是解決問題的切入點和突破口，也是問題的難點所在.通過認真審視這道試題，在不同視角下，得到了該題的不同解題思維與對應的精彩解法.

根據等比數列的性質確定相應項的符號，設出數列的公比q，結合條件a1＞1，通過對公比q的分類討論：q＞0，q=-1，q＜-1的分析，結合條件確定關系式a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，從而得到-1＜q＜0，進而確定相應項的大小關系.

解法1：由于a1，a2，a3，a4成等比數列，根據等比數列的性質可知，奇數項符號相同，偶數項符號相同.

又a1＞1，設公比為q.

當q＞0時，a1+a2+a3+a4＞a1+a2+a3，此時a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，那么a1＜a3，a2＜a4或a1＞a3，a2＞a4不成立，排除選項A，D；

當q=-1時，可得a1+a2+a3+a4=0，ln（a1+a2+a3）＞0，此時a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立，所以q≠-1；

當q＜-1時，a1+a2+a3+a4＜0，ln（a1+a2+a3）＞0，此時a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）不成立；

當-1＜q＜0時，a1＞a3＞0，a2＜a4＜0，并且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）成立.

綜上分析，可得a1＞a3，a2＜a4，故選擇答案：B.

根據條件中對應的對數函數，結合函數的單調性：“當x＞0時，有lnx≤x-1恒成立”，轉化a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）≤a1+a2+a3-1，可得a4≤-1，根據等比數列的通項確定q＜0，進而結合q≤-1時產生矛盾，從而得到-1＜q＜0，最終確定相應項的大小關系.

解法2：由于x＞0，有lnx≤x-1恒成立，所以有a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）≤a1+a2+a3-1，則有a4≤-1.

設等比數列的公比為q，又a1＞1，所以由a4=a1q3≤-1可得q＜0.

當q≤-1時，有a1+a2+a3+a4=a1（1+q）（1+q2）≤0，此時a1+a2+a3=a1（1+q+q2）≥a1＞1，即ln（a1+a2+a3）＞0，產生矛盾，故不滿足條件，

所以有-1＜q＜0.所以a1-a3=a1（1-q2）＞0，a2-a4=a1q（1-q2）＜0.

所以有a1＞a3，a2＜a4，故選擇答案：B.

根據條件中對應的對數函數，結合函數的單調性：“ex≥x+1恒成立”，轉化為ea1+a2+a3+a4=a1+a2+a3≥a1+a2+a3+a4+1，可得a4≤-1，根據等比數列的通項確定q＜0，進而結合q≤-1時產生矛盾，從而得到-1＜q＜0，最終確定相應項的大小關系.設等比數列的公比為q，又a1＞1，所以由a4=a1q3≤-1，可得q＜0.

當q≤-1時，有a1+a2+a3+a4=a1（1+q）（1+q2）≤0，此時a1+a2+a3=a1（1+q+q2）≥a1＞1，即ln（a1+a2+a3）＞0，產生矛盾，故不滿足條件.

所以有-1＜q＜0.所以a1-a3=a1（1-q2）＞0，a2-a4=a1q（1-q2）＜0.

所以有a1＞a3，a2＜a4，故選擇答案：B.

根據條件中對應的對數函數，結合函數的單調性：“當x＞0時，有lnx≤x-1恒成立”，取其等號成立時的特殊值，利用特殊值a4=-1，進而根據等比數列的通項及不等式的性質可以確定q∈（-1，0），從而確定相應項的大小關系.

解法4：由于x＞0時，有lnx≤x-1恒成立，取其特殊值使得lnx=x-1成立.

所以有a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）=a1+a2+a3-1，則有a4=-1.

設等比數列的公比為q，又a1＞1，所以由a4=a1q3=-1，可得q＜0.

又a1＞1，可得，則有q∈（-1，0）.

那么a3=a1q2＜a1，-1=a4=a2q2＞a2.

故選擇答案：B.

通過變換，把相應的等式兩邊看成關于q的兩個函數，分別求導，結合函數的單調性作出對應的函數圖像，通過比較端點值得到公比q的取值范圍，進而確定相應項的大小關系.

解法5：設等比數列的公比為q，由題可知

圖1

如圖1所示，f（q）過點A（-1，0），B（0，a1），g（q）過點C（-1，lna1），D（0，lna1）.

由于a1＞1，所以0＜lna1＜a1，所以兩函數的交點的橫坐標在區間（-1，0）上，即-1＜q＜0.

那么a1-a3=a1（1-q2）＞0，a2-a4=a1q（1-q2）＜0.

所以有a1＞a3，a2＜a4，故選擇答案：B.

通過構造函數f（q）=ln（a1+a1q+a1q2）-（a1+a1q+a1q2+a1q3）（q∈R），結合f（0）與f（-1）的正負取值情況，與函數的零點存在性定理確定函數f（q）在區間（-1，0）上必有一個零點，進而通過作差比較法與不等式的性質來確定相應項的大小關系.

解法6：構造函數f（q）=ln（a1+a1q+a1q2）-（a1+a1q+a1q2+a1q3）（q∈R）.

由于a1＞1，所以f（0）=lna1-a1＜0，f（-1）=ln（a1-a1+a1）-（a1-a1+a1-a1）=lna1＞0.

結合函數的零點存在性定理，可知函數f（q）在區間（-1，0）上必有一個零點q0.

從而有a1-a3=a1（1-q02）＞0，a2-a4=a1q0（1-q02）＜0.

所以有a1＞a3，a2＜a4，故選擇答案：B.

通過從多個角度來處理，巧妙地把該高考題的底蘊充分挖掘出來，從多角度出發，多方面求解，真正體現了對數學知識的融會貫通，充分展現出知識的交匯與綜合，達到提升能力、拓展應用的目的.正如著名數學家蘇步青在《談談怎樣學好數學》中寫到：“學習數學，寧可花一點時間，學得精一些、深一些、透一些，學到的知識也就扎實些、牢靠些，有備無患或少患，以防萬一.”多鉆研，多思維，多聯系，多提升，真正達到“做一題，透一點，通一類，會百題”，進而真正達到在學中“悟”，在“悟”中不斷提升解題技能，進一步培養各方面的思維品質與數學素養，提升數學能力，拓展數學應用.