對一道質檢題的多解探究

☉江蘇省錫山高級中學 葛長松

圓錐曲線中的三角形面積的最值問題一直是高考數學的常見題型之一，也是備受命題者、老師與學生關注的焦點之一，難度中等偏上及較難.此類問題通過點、直線、曲線的位置關系的變換來構造相應的三角形，充分體現了解析幾何中動與靜的完美統一，是數學知識的有機綜合與交匯.其背景生動，內容豐富，綜合性較強，因而趣味性也較強，充分將相關知識有效地融為一體，要求具有較強的綜合能力與應變能力，充分考查學生的能力與素養.雖然此類問題的切入點比較多，但通過三角形面積的變換后，往往運算量比較大，容易導致錯誤.

一、問題呈現

問題（2019屆江蘇省無錫市高三年級第一學期期末教學質量調研·18）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓，且過，點P在第四象限，A 為左頂點，B為上頂點，PA交y軸于點C，PB交x軸于點D.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）求△PCD面積的最大值.

本題第二問中涉及三角形面積的表示方法多種多樣，進而面積最值的求解方式各異，因此破解的入口比較寬.只是不同的表示方法會導致運算量的繁簡程度不同，進而會產生不同的效益.

圖1

二、問題破解

（2）思維方法一：設直線方程.

由于點P是橢圓E在第四象限上的點，隨著點P的運動帶動相關直線AP、BP、CD的變化，所以設置相關直線的參數方程就是一種比較常見的切入方式.通過不同直線方程的設置，分別求解點P、點C與點D的坐標，結合△PCD的面積的表達形式，最后借助基本不等式來確定最值即可.

方法1：設直線AP的方程.

方法2：設直線BP的方程.

思維方法二：設點P的坐標.

由于P是橢圓E在第四象限上的點，所有元素都隨著點P的運動而產生改變，所以設置點P的參數坐標就是一種比較自然的選擇.可以采用點P的普通參數坐標形式，也可以采用點P的三角參數坐標形式，進而分別確定點C與點D的坐標，結合△PCD的面積的表達形式，借助基本不等式或三角函數的圖像與性質來確定最值即可.

方法1：設點P的普通參數坐標.

三、規律總結

其實，無論是設置直線的方程求解，還是設置點的坐標求解，都可以用來表示三角形的面積，再結合參數對應的關系式，利用等式變換、基本不等式、三角函數的圖像與性質等方法來求解對應的最值問題.只是直接設置點的坐標的思路比較自然，設置直線的方程則更容易操作成功，而不同的方法都可以用來鍛煉學生的運算能力，強化學生的運算技巧，培養學生的核心素養.