關(guān)注數(shù)列交匯題，提升數(shù)學(xué)探究力

☉江蘇省無錫市第一女子中學(xué) 歐 凱

隨著教育改革進(jìn)入深水區(qū)，高考數(shù)學(xué)試題命制的特點(diǎn)也逐漸側(cè)重對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，注重在知識的交叉點(diǎn)和結(jié)合點(diǎn)處尋找命題思路，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的縱向和橫向的有機(jī)聯(lián)系，考題逐漸往“桃李嫁接”的方向發(fā)展.下面就等差數(shù)列及等比數(shù)列與其他知識相融合的一些題型進(jìn)行分類解析.

一、數(shù)列與文化知識的交匯

“數(shù)學(xué)文化”的觀念貫穿高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的每一個(gè)部分.“數(shù)學(xué)文化”讓數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容變得豐富而有內(nèi)涵，數(shù)學(xué)文化材料中蘊(yùn)含著理性思維，也蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)智慧.例如必修5“教育儲蓄的收益與比較”中介紹了數(shù)學(xué)的應(yīng)用，“斐波那契數(shù)列”則展現(xiàn)了數(shù)學(xué)世界的豐富多彩與無窮趣味.

例1在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖1所示），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是______.

圖1

解析：因?yàn)樽罡咭粚拥闹行氖且粔K天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則每圈的石板數(shù)構(gòu)成一個(gè)以9為首項(xiàng)，以9為公差的等差數(shù)列，所以an=9n.當(dāng)n=9時(shí)，第9圈共有81塊石板.所以前9圈的石板總數(shù)

故答案為405.

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分，高中數(shù)學(xué)必修教材中設(shè)置了許多有關(guān)“數(shù)學(xué)文化”的材料，探究這些“數(shù)學(xué)文化”，可以有效提高人文素養(yǎng).感悟數(shù)學(xué)文化中所包含的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，可以最大化地實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)文化應(yīng)有的教育價(jià)值.

二、數(shù)列與線性規(guī)劃知識的交匯

數(shù)列與線性規(guī)劃知識的交匯，主要體現(xiàn)在以不等式及線性規(guī)劃知識為載體，以可行域?yàn)楸尘埃瑸閿?shù)列運(yùn)算提供所需要的數(shù)據(jù)，解題的關(guān)鍵是熟悉線性規(guī)劃知識和相關(guān)模型的求解方法.

例2若x，y滿足約束條件等差數(shù)列{a}滿足a1=x，a5=y，其前n項(xiàng)為Sn，則S5-S2的最大值為______.

解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}滿足a1=x，a5=y，所以d

圖2

如圖2所示，平移目標(biāo)函數(shù)，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，在y軸的截距最大，此時(shí)z最大，

點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式和線性規(guī)劃在求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.解題思路可先根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式得到然后畫出約束條件的可行域，求出z的最大值即可.

三、數(shù)列與函數(shù)的交匯

等差數(shù)列與函數(shù)的交匯，主要是以函數(shù)為載體考查等差數(shù)列的計(jì)算問題，解決這類問題的關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列以及函數(shù)的性質(zhì).

例3已知奇函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列{xn}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，滿足f（x7）+f（x8）=0，則x2017的值為______.

解析：設(shè)x7=x，則x8=x+2.

因?yàn)閒（x7）+f（x8）=0，所以f（x）+f（x+2）=0.

結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)的對稱性可知f（x+1）=0=f（0），即x+1=0，所以x=-1.

設(shè)數(shù)列{xn}的通項(xiàng)xn=x7+2（n-7）=2n-15，

所以x2017=2×2017-15=4019.

故答案為4019.

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的性質(zhì)以及函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的合理運(yùn)用.

四、數(shù)列與向量的交匯

向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景.數(shù)列與向量的交匯融合主要是借助向量的幾何意義建立起數(shù)列中各項(xiàng)的關(guān)系來進(jìn)行求解.求證：{|an|}是等比數(shù)列.

點(diǎn)評：本題主要考查了平面向量模的運(yùn)算及等比數(shù)列的知識，熟練掌握等比數(shù)列的概念是解決本題的關(guān)鍵.向量的坐標(biāo)是數(shù)列，而目標(biāo)是向量的模，因此可以利用模運(yùn)算建立起|an|與|an-1|的關(guān)系，然后再加以判斷.

五、數(shù)列與三角知識的交匯

三角函數(shù)是一種基本初等函數(shù)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，三角函數(shù)與其他知識的交匯主要體現(xiàn)在三角函數(shù)的運(yùn)算工具性上，例如借助三角函數(shù)的輔助角公式、兩角和與差的運(yùn)算公式等，將數(shù)列的性質(zhì)和求解融于其中.

例5將函數(shù)3π）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列{an}（n∈N*）.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=2nan，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn的表達(dá)式.

所以Tn=π［（2n-3）·2n+3］.

點(diǎn)評：數(shù)列與三角函數(shù)的交匯問題主要是以數(shù)列作為一個(gè)條件，這類問題在三角形問題中較為常見，解決這類問題主要是運(yùn)用等差中項(xiàng)或等比中項(xiàng)的知識.涉及的題目類型主要有下面四種：①角A、B、C成等差數(shù)列型；②角A、B、C成等比數(shù)列型；③三邊a，b，c成等差數(shù)列型；④三邊a，b，c成等比數(shù)列型.

總之，對數(shù)列交匯題的歸類分析與探討，可以貼近新高考的命題趨勢，也能有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和推理能力.