統計題型研究，展望命題規律
——基于全國高考與復習

☉安徽省天長市銅城中學 卞壽霞

為了更好地應對2019屆高考的數學備考，通過對2013年至2018年六年間的全國新課標Ⅰ卷理科數學試題中關于統計知識點的試題進行分析，結合題型研究，梳理高考數學試題對統計的考查意圖，了解高考數學試題中統計的命題方向，并結合考試說明進行對比，為新一屆的復習備考提供一些展望與指導.

一、全國高考統計部分考點分析與考查重點

1.考點分析與考查概況

以新課標高考全國Ⅰ卷為例，就近6年全國新課標高考統計部分的考點分析如下：

年份 題號 分值 考點2013年 3 5分 抽樣方法2014年 18 12分 產品檢驗，直方圖，數據特征，數學期望2015年 19 12分 利潤問題，散點圖模型，回歸方程及應用2016年 19 12分 機器更換問題，柱狀圖，分布列，方案優化2017年 19 12分 正態分布，數學期望，抽象的合理性2018年 3 5分 餅圖及其應用

統計是每年高考中必考的考點之一，也是實際應用的主要場所之一，主要考點為：三種抽樣方法的選擇及其相關計算，總體分布中的統計圖與表的識別與應用，總體特征數的計算與應用，線性回歸方程的求解與應用，以及統計知識的交匯與綜合應用問題等.

2.高考考查重點

（1）抽樣方法主要考查抽樣方法的概念、選用及相關運算，并會運用統計知識來解決一些相關的實際問題.平時考查主要包括抽樣方法的選擇，以及對應的計算問題，主要以分層抽樣為主.

（2）總體分布的考查主要以統計圖或表的形式出現，包括統計中常用的“一表六圖”（頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、頻率分布扇形圖、餅圖、莖葉圖、散點圖等）的考查：①比較圖表的信息，確定不同數據的結果情況；②圖表的數據信息與統計信息，通過識圖、讀圖，從圖表中獲取數據信息并加以統計，從而通過這些統計表或圖給出相應的統計信息，或通過相應的統計信息求解這些相應的統計圖或表.高考中的考查主要以頻率分布表、頻率分布直方圖等為主，經常出現在選擇題、填空題或解答題中，難度不大.

（3）在總體特征數的考查中，往往利用對應的數學特征來進行計算與應用.

（4）理清兩個變量之間的函數關系與相關關系的區別與聯系，以及準確確定線性回歸方程，從而進一步加強數學應用意識，培養運用所學知識分析問題和解決問題的能力.

（5）在統計中，經常把統計知識與代數、幾何、概率等相關知識加以交匯與整合，用來考查實際應用問題，是新課標考綱中比較熱點的問題之一.

二、全國高考統計部分考情預測

（1）抽樣方法的選擇與計算，有時也會涉及簡單的概率問題；

（2）統計圖與表的識別與應用，考查對圖表的閱讀與理解，以及知識點間的應用問題；

（3）數字特征的考查以創新情景為主，理解公式與應用；

（4）概率與統計的交匯與綜合也是考查的一大方向.

三、統計的命題類型

1.抽樣方法的考查

例1某地區有高中生12000人，初中生10000人，小學生13000人，某調研機構為了了解學生的學習成績與網絡課程學習方面是否存在一定的差異，打算從全體學生中按1%的比例抽取學生進行調查，則比較適合采用的抽樣方法是（ ）.

A.系統抽樣法 B.分層抽樣法

C.抽簽法 D.隨機數表法

思路分析：根據抽樣的目的與抽樣方法的特點綜合來判斷與選擇.

解：因為抽樣的目的與各學段的學生有關，所以從全體學生中抽取1%應該用分層抽樣法，按各學段學生所占的比例進行抽取，故選B.

方法點撥：求解此類問題的關鍵是分清簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣各自的特點.簡單隨機抽樣是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取，此種情況下一般要求總體中個體數較少；而系統抽樣的特征是總體一般有明顯的平均分成幾部分，此時按照事先確定的規則，分別在各部分中有規律地抽取，樣本分布比較均勻；分層抽樣是將總體分成幾層，按各層個體數之比進行抽取，樣本有較強的代表性.明晰這三種抽樣方法各自的特點，即可順利破解此類問題.

2.總體分布的考查

例2 圖1是某學校舉行的運動會上七位評委為某體操項目打出的分數的莖葉統計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數據的平均數和方差分別為（ ）.

圖1

A.84，4.84 B.84，1.6 C.85，1.6 D.85，4

思路分析：通過讀取莖葉圖，確定七位評委所打出的分數，進而去掉最高分93，最低分79，再利用剩下的數據求解平均數與方差即可.

解：去掉最高分93，最低分79，平均分為84+86+84+87）=85，方差（86-85）2+（84-85）2+（87-85）2］=

故選擇答案：C.

結論總結：我們知道，莖葉圖可以非常直觀地將數據有條不紊地羅列出來，可以從中直觀地觀察到相應數據的分布情況.在高考中，對莖葉圖部分經常考查的有：（1）通過對莖葉圖的分析與判斷，用于解決莖葉圖中的數字問題、數據信息匯總問題、數據的分析判斷問題等；（2）莖葉圖的繪制與應用等.

3.總體特征數的考查

例3已知某個總體中每個個體的值由小到大依次為2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，21，且這列值的中位數為10，若要使得該總體的方差最小，那么ab=______.

思路分析：根據中位數的概念得出a+b的值，再結合平均數公式與方差公式，確定相應的代數式的最小值，最后結合基本不等式加以判斷方差的最小值問題.

解：由于總體的個數為10個，根據中位數的概念可知a+b=10×2=20.

解題攻略：眾數、中位數和平均數這三種最常用的數字特征，其主要提供關于樣本數據的特征信息，可以從不同的側面反映數據的分布狀態.而標準差或方差則是用來考查樣本數據的分散程度，標準差或方差越大，對應的數據的離散程度越大；標準差或方差越小，對應的數據的離散程度越小.特別地，在樣本數據的平均數相同的條件下，經常通過考查標準差或方差來進一步分析數據的離散程度.

四、統計的復習策略

1.回歸教材，夯實基礎

（1）準確理解相應知識的本質，重視對相關概念、定理等的理解和掌握.如“三方法”（三種抽樣方法），“一表六圖”（頻率分布表，頻率分布直方圖和折線圖，扇形圖，莖葉圖，餅圖，散點圖），“三數一方程”（平均數，方差與標準差，相關系數，線性回歸方程）等.

（2）注意解題方法和解題規律的總結與應用.如利用平均數、方差或標準差，以及線性回歸方程來解決數據問題，進而得以合理決策與應用等.

（3）重視數學思想方法和數學素養的應用.統計富含數學思想方法，如數據分析，數形結合思想，化歸與轉化思想等，經常用來解決一些相關的統計及其應用問題.

2.吃透例（習）題，注重變式

近幾年的高考中，特別是對統計部分知識的考查與應用，以基本題為主，命題主要是立足教材，適當變形，適度整合，拓展提升，同時滲透相關的數學思想方法，這已經是高考命題的一個常態.因而，在統計的復習過程中，應萬變不離其宗，好好吃透教材的例（習）題，并在此基礎上加以適當變式探究就顯得尤為重要.

3.跳出題海，培養素養

在高考復習中，一定量的練習是非常有必要的，但不能盲目地陷入題海當中，要注重“一題多解”“一題多變”與“多題一解”等的學習實踐，養成變式思維，跳出題海，注重對經典題型的變式訓練.在此基礎上，不斷提高數學運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力等，從而提升思維，培養數學核心素養.