發(fā)展高中數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學實踐與思考
——以任意角的三角函數(shù)為例

☉福建省廈門集美中學 李國富

2018年4月，筆者參加了廈門市直屬學校第三片區(qū)教研活動（同課異構），并做了“任意角的三角函數(shù)”的課例展示，此課例本著以發(fā)展學生數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)為主要目的，在教學設計中層層推進，不斷滲透核心素養(yǎng)，并進行了一些嘗試與思考.

一、發(fā)展高中數(shù)學抽象素養(yǎng)的教學實踐

1.復習回顧，做好鋪墊

問題1：前面我們通過旋轉的方式把角的概念推廣到了任意角，請大家回憶一下任意角是如何定義的？

問題2：我們學習了象限角，請大家想一想如何判斷

任意角的定義是本章的基礎概念，角的概念通過旋轉的方式得到了推廣，為任意角的三角函數(shù)的概念埋下了伏筆，而象限角的復習可以讓學生在直角坐標系下繼續(xù)研究與角有關的問題，引導學生意識到：要解決新問題，需要利用新的工具，對舊知識進行重新認識，得到新的定義，為學習任意角的三角函數(shù)，發(fā)展數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)做準備.

2.創(chuàng)設情境，引發(fā)思考

教師：上一節(jié)我們從“旋轉”的角度定義了任意角，在旋轉的過程中終邊上任意一點都繞著O點運動，物理學上把這一運動稱為“圓周運動”.生活中我們經(jīng)常看到這種圓周運動，請大家舉出一些例子.

學生：時鐘，汽車輪胎，摩天輪等.

教師：通過這些例子，我們發(fā)現(xiàn)它們的運動都是具有周期性的，對于這樣的運動，要用什么函數(shù)來刻畫呢？

學生：三角函數(shù)（角的函數(shù)，任意角的函數(shù)等）.

引導學生在運動中觀察到“周而復始”的周期性，進而思考如何從函數(shù)的角度進行研究，為滲透數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)找到有效的載體.

3.以“問題串”的形式，得到概念

問題1：結合初中所學銳角三角函數(shù)的定義，如何用銳角終邊上的點的坐標來表示銳角α的三角函數(shù)？

如圖1，從銳角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離

圖1

過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段OM的長度為x，線段MP的長度為y.

在直角坐標系中，取終邊上一點P構建直角三角形，用點P的坐標表示銳角α的三角函數(shù)，從而得到銳角三角函數(shù)的概念.從學生比較熟悉的知識出發(fā)，抽象出新的定義，可以激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng).

問題2：當銳角α不變時，銳角的三角函數(shù)值會不會隨著點P位置的改變而改變呢？為什么？

圖2

學生深刻理解并體會銳角的三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點的位置的改變而改變，只與角有關系，學生討論，得到結論.教師在這一教學過程中，不斷引導學生思考，并突破思維障礙，有效提高了學生的數(shù)形結合、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

教師：對于確定的銳角α，三角函數(shù)值不會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變.但銳角α改變時，這三個比值還不變嗎？

教師：當銳角α變化時，都有唯一的比值與之相對應，請大家回憶一下這是《必修1》所學過的哪個概念呢？

學生：函數(shù)的概念.

教師：既然銳角三角函數(shù)的定義符合函數(shù)的定義，那么銳角三角函數(shù)的定義域、值域呢？

學生：定義域：角組成的集合；值域：比值組成的集合.

這個環(huán)節(jié)的師生互動，讓學生理解了銳角的三角函數(shù)是符合函數(shù)的定義，有效地發(fā)展和提升了學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng).

問題3：由于三角函數(shù)值不會隨著點P的改變而改變，點P可以取在哪個位置，使三角函數(shù)的形式更為簡單？于是，三角函數(shù)的定義的生成便水到渠成.

圖3

如圖3，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦，記做sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦，記做cosα，即cosα=x；

有了問題2的鋪墊，再結合前面三角函數(shù)的定義，自然得出在單位圓下任意三角函數(shù)的概念，引導學生得出任意角的三角函數(shù)的簡化形式.學生通過構建得到了在單位圓下的任意角的三角函數(shù)的概念，以問題為形式，在產(chǎn)生概念的過程中，不斷提高學生的數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

問題4：已知角α終邊上的任一點，該如何求它的三角函數(shù)值呢？

圖4

如圖4，設角α是一個任意角，P（x，y）是角α終邊上的任

以問題的形式，引發(fā)學生思考.通過模型，讓學生進一步掌握任意角的三角函數(shù)的定義的要點：點、點的坐標、點到頂點的距離，為這一問題提供了解決辦法.學生對于課本例2的解答方法還是覺得煩瑣了，為此提出這一問題來引起大家的共鳴，讓學生為解決這一問題的迫切性來激發(fā)其學習興趣.證明過程可以培養(yǎng)學生觀察、歸納等合情推理的能力，從而提高學生的數(shù)學抽象素養(yǎng).

4.實踐剖析，深化理解

例1如圖5，已知角α的終邊與單位圓的交點，求角α的正弦、余弦和正切值.

圖5

例2求的正弦、余弦和正切值.

課堂練習：根據(jù)上述方法能否求得特殊角的三角函數(shù)值？

角 α（角度） 0° 90° 180° 270° 360°角α（弧度）sinα cosα tanα

簡單運用，加深對定義的理解.通過例題、練習題的層層推進，從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，通過具體事例，深刻領會并理解定義，學會這一數(shù)學知識，達到提高學生數(shù)學抽象核心素養(yǎng)的目的.

例1的目的是進一步強化學生對定義的認識：找出角α的終邊與單位圓的交點，進而根據(jù) 定義求出三角函數(shù)的值；對于例2，學生就會懂得先求出角α與單位圓的交點；課堂練習中軸線角的三角函數(shù)對學生來說是個易錯的問題，同時也是個難點，在例1和例2的基礎上，學生就有了行之有效的解決辦法.

總之，這個環(huán)節(jié)的內(nèi)容主要是強化學生對于在單位圓下任意角的三角函數(shù)定義的理解，例題難度不斷加大，使得學生真正理解并掌握任意角的三角函數(shù)這一抽象定義，提升了學生的數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

二、發(fā)展高中數(shù)學抽象素養(yǎng)的思考

（1）在創(chuàng)設情境上激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生的深入思考，為發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)做好前期的鋪墊.學生在直角坐標系下，通過構造直角三角形可以有效地解決特殊角的三角函數(shù)，而學生現(xiàn)有的知識水平是無法回答除銳角以外的三角函數(shù)值，根據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論，為學生提供熟悉且有一點點難度的內(nèi)容，可以在很大程度上調(diào)動學生學習的積極性.

（2）在“問題串”的概念教學中，學生自主探究任意角的三角函數(shù)，有效地發(fā)展學生的數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng).通過啟發(fā)的方式，讓學生體會數(shù)形結合、特殊到一般的思想方法和策略，以一種“潤物細無聲”的方式，培養(yǎng)和發(fā)展了數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

（3）例題教學是讓學生進一步理解數(shù)學概念的有效途徑，通過例題教學可以有效地培養(yǎng)學生的思維能力，發(fā)展學生數(shù)學抽象這一數(shù)學核心素養(yǎng).通過精講精練，來突破概念等抽象難點，從而提升數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).課堂練習是檢驗學生學習成果的有效手段，可以強化學生對于概念的理解，實現(xiàn)真正意義上的突破抽象難點，進一步提升數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).