高等數學在高考數學壓軸題中的應用研究

李樹逵

【摘要】近年來，隨著課程的不斷改革，高考數學壓軸題的難度也越來越大，尤其是壓軸題的題目也變得非常的復雜，使學生在練習的過程中無法直觀地理解出題者的意圖.本文通過參考相關文獻對高等數學在高考中數學壓軸題中的應用進行了分析研究，希望可以對提高高中生的數學成績有所幫助.

【關鍵詞】高考數學;壓軸題;應用策略

高等數學就是高中生在高考復習階段學習的基礎，但是，在高中數學課堂教學中，很多數學教師還沒有意識到高等數學在高考數學壓軸題中應用的重要性，這也是導致高中生數學成績無法提高的重壓原因之一.如何提高高中數學課堂的教學質量？本文通過對一系列題型的分析，對高等數學在高考數學壓軸題中的應用進行了詳細的研究.

一、導數在高考數學壓軸題中的應用

在高考壓軸題中，導數與數列作為壓軸題在高考試卷中出現的頻率最高.其考查的重點就是看學生是否掌握了函數以及遞推數列相關的重點知識以及解題的步驟等.出題者在出題的過程中經常會將函數、方程式、不等式以及幾何解析、向量等高等數學知識融合起來，不僅使壓軸題目更具有新意，同時也加大了解題的難度.學生在解題過程中，一定要掌握好相關壓軸題的重點知識，其次是可以對重點知識進行靈活應用，最重要的還是對數學審題的理解，如果在解題前不能理解出題者的意圖，就會導致在做題當中出現錯誤，使解題方法偏離題意.

首先我們先了解一下什么是導數？導數就是微積分中的基礎概念.也就是說當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f′（x0）或df（x0）dx.在高等數學中，如果數學教師可以通過將變量分離的方法幫助學生確定好解題思路，可以減輕學生的解題壓力.分離變量的方法有很多種，其中就包括了“多項式函數或分式函數”和“三角函數”.

1.分離變量中的三角函數：（本文中的試題例子均是參照各類相關文獻中的例子）設函數f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]，設f（x）≤sinx，求a的取值范圍.這種題型給定的自變量范圍內的函數一般都是沒有最小值的，所以在解題過程中，教師可以引導學生通過確定函數的“單調性”來求a的取值范圍，比如，當x=0時，x≠0時，變量有沒有最大值和最小值，或者也通過遞增函數和遞減函數來推理a的取值范圍，但是在解題過程中也一定要考慮到三角函數的周期性，以避免解題思路出現錯誤.

2.分離變量后的函數為多項式函數或分式函數：設函數f（x）=x2+ax+b，g（x）=β2（cx=d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）通過點P（0，2），且在點P處有相同的切線，y=4x+2.（1）若x≥-2時，f（x）≤kg（x），求k的取值范圍.這類題型，我們可以從三個方面進行分析：當x=-1時，當-2≤x<-1時，當x>-1時，進行分量會得出什么樣的結論，在通過對這三種情況的交集的分析，求解出k的取值范圍.所以，對這類題型，教師也可以通過問題中給定的自變量的范圍，即可以通過自變量的最大值和最小值，求解k的取值范圍，即可以通過求“最值”求解[1].

二、數列在高考壓軸題中的應用

首先我們可以了解一下什么是數列？數列就是以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數，是一列有序的數，數列中的每一個數都叫作數列的項.排在第一位的數稱之為這個數列的第一項（通常也叫作首項），排列在第二位的數稱之為這個數列的第二項，以此類推，排在第n位的數為這個數列的第n項，通常會用an表示（此段參考于百度文庫數列的定義）.這里以一道數學題舉例說明一下：【本題材出自2012年高考上海卷·文（23）】對于項數為m的有窮數集{an}，記bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk為a1，a2，…，ak中的最大值，并稱數列{bn}是{an}的控制數列，如1，3，2，5，5的控制數列是1，3，3，5，5.（1）若各項均為正整數的數列{an}的控制數列為2，3，4，5，5，請寫出所有的{an};（2）設{bn}是{an}的控制數列，滿足ak+bm-k+1=C（C為常數，k=1，2，…，m）.求證bk=ak（k=1，2，…，m）.出題者設計本題的目的就是為了考查學生在做題過程中對問題進行思考和判斷的能力，同時也是為了考查學生對所學數學理論知識的分析和解決能力.比如，在第一問中，就是為了考查學生的應變能力，同時也是為了加深學生對控制數列概念的理解.但是，在第二個問題中，其實就是在強化學生對“控制數列”的概念的理解，比如，因為bk=max{a1，a2，…，ak}，bk+1=max{a1，a2，…，ak，ak+1}，所以也就能得出ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即ak+1≥ak，所以bk=ak.這種提問題方式，也體現了出題者的數學邏輯思維，其意圖很了然，就是為了加強學生對“控制數列”概念的理解.學生通過審題，能確定控制數列{an}的單調性，從而找到解題的方向.學生在做題的過程中，只要將數學的抽象信息變得具體化一些，再通過認真分析，便能歸納出數列的規律，從而學會控制數列的解題方法[1].

三、結 語

總而言之，高等數學在高考壓軸題中的應用方式有很多種，其中最常見的就是導數在高考數學壓軸題中的應用以及數列在高考壓軸題中的應用.所以高考壓軸題中的導數和數列是高考復習中的知識重點，我們通過這些解題方法，不僅可以學習高中數學的解題方法，同時通過借鑒高等數學中的知識，也可以幫助學生改變其應變思維，以提高高中生的數學成績.

【參考文獻】

[1]李紅光.例談洛必達法則在高考數學壓軸題的應用[J].數學教學通訊，2017（9）：71-73.

[2]張潤平.高等數學背景下一類壓軸題的簡解[J].中學數學（高中版），2011（2）：32-33.