模式轉換型縱-扭復合超聲振動加工系統的設計

殷 森， 趙 波， 李 瑜

(河南理工大學 機械與動力工程學院,河南 焦作 454000)

隨著現代工業的高速發展，高硬脆材料在航空航天、醫療、武器裝備制造等諸多領域得到了廣泛的應用，而超聲振動加工在加工多種硬脆材料時，均表現出加工效率高、表面質量良好等優勢，而二維復合振動加工更是可極大提升單向振動加工的加工質量[1]。復合振動模式主要有縱彎復合、扭彎復合[2]、縱扭復合[3]、雙彎曲復合[4]及徑扭復合[5]等。目前，實現縱扭復合超聲振動的輸出裝置有兩類：①利用縱-扭超聲換能器實現系統的復合振動，如通過使用兩組不同極化方向的壓電陶瓷，組成縱-扭復合振動換能器[6]、通過軸向磁致伸縮輸出扭轉振動的換能器[7]和通過合理布置傾斜壓電陶瓷的換能器[8]；②在變幅桿上設計“模式轉換器”的結構，對系統輸出的超聲振動進行轉換與復合，如螺旋溝槽式變幅桿[9]、斜槽式變幅桿[10-12]、榫卯式變幅桿[13]。

對于螺旋溝槽式變幅桿，其扭轉振動分量較高，縱-扭復合振動輸出穩定[14]，但是影響縱-扭復合振動輸出的結構參數眾多，縱-扭模型的建立較為困難，對輸出參數無法實現較為精確的確定與控制，在實際應用中有較大的局限性。本文利用理論推導、有限元分析與實驗驗證相結合的方法，設計了螺旋溝槽式縱-扭復合超聲振動加工系統，并分析了螺旋溝槽參數對縱向振動分量與扭轉振動分量比例的影響，從而優化溝槽參數，為縱-扭復合超聲加工系統的設計提供了重要的理論支持。

1 超聲波在螺旋溝槽結構中的傳播特性

1.1 螺旋溝槽處反射橫波的存在性

在一圓錐形傳振桿側面上均勻開設螺旋溝槽，溝槽的長度為傳振桿母線長度，結構如圖1所示。聲波由傳振桿L面傳遞到傳振桿T面過程中，在溝槽處發生波的反射。溝槽的邊界是一條螺旋線，選取其上極小的一段dx，將其視為直線段，在此位置建立坐標系，設半無限彈性介質的自由界面為yoz面，z軸與紙面垂直。假定yoz面的右邊為真空，不存在振動傳播的介質，即全部入射波在界面上均被反射，無需考慮波的透射，建立如圖2的坐標系。設入射平面簡諧縱波S1為拉伸波，既是質點的運動方向與波的前進方向相反。

圖1 螺旋溝槽傳振桿結構

圖2 平面縱波在自由面的反射

波動方程式

(1)

由波動方程式(1)可知，入射縱波S1的質點的位移表達式為[15]

(2)

式中：A1為入射縱波的振動幅值;ω為入射縱波的圓頻率;φ1為入射縱波的入射角;vp為入射縱波的波速。

U1=A1sin(ωt+m1x+n1y)

(3)

則縱波S1的質點的矢量方向上的位移為

u1x=U1cosφ1

(4)

u1y=U1sinφ1

(5)

假設縱波S1與自由界面的作用只產生反射縱波S2，則反射縱波S2的位移表達式為

U2=A2sin(ωt-m2x+n2y+ψ1)

(6)

(7)

式中：m2的負號表示反射縱波相對x軸為正向傳播；Ψ1為相位改變，為一常數；φ2為反射波的反射角。

反射縱波中質點的位移分量為

u2x=-U2cosφ2

(8)

u2y=U2sinφ2

(9)

在自由界面上有入射縱波及反射縱波耦合的位移，只考慮反射縱波時

ux=u1x+u2x

(10)

vy=v1y+v2y

(11)

自由界面應力為0，即位移不受約束時，在x=0平面上，任意y與t均有

σx=τxy=τxz=0

(12)

由幾何方程及廣義方程的胡克定律可得

(13)

(14)

(15)

可知，質點的位移函數與z無關，在z方向的位移分量w=0。

將式(2)～式(12)代入式(13)～式(15)可得

(16)

(17)

當y取任意值時，均要保證式(16)成立，則須滿足式(18)、式(19)。

n1=n2

(18)

ψ1=0，A1=-A2或ψ1=π，A1=A2

(19)

由式(18)、式(19)可知，平面簡諧縱波在經過溝槽結構的反射之后，位移相位發生了改變，變化量為π。但是， 若將(18)、式(19)代入到式(17)，式(17)卻不成立。即說明，平面簡諧縱波經過自由界面的反射之后，若僅存在一反射縱波，則不能同時滿足邊界上剪應力和正應力同時為0的條件，必然也存在反射橫波。

1.2 螺旋溝槽結構的振型轉換

結合傳振桿剛度要求及機械加工難度，將螺旋溝槽設計成漸變式，溝槽的切口形狀為類梯形，溝槽所包絡為一圓柱，是實心部分，如圖3所示。

圖3 螺旋溝槽切口形狀

因縱波在空氣中傳播發生了較大的能量損耗，所以當縱波傾斜入射螺旋溝槽時，只考慮反射縱波和反射橫波的影響，忽略二次折射所產生的影響[16-17]。在圖1的坐標系中，縱波產生的縱向慣性力F在溝槽所包絡實心圓柱中的力F1將繼續沿縱向傳遞；在螺旋溝槽結構部分截面上的力F2沿溝槽旋轉方向，與F成θ夾角，而F2將分解成兩部分：縱向作用力分量F2L及剪切作用力分量F2T，其中縱向作用力分量沿著傳振桿軸線方向；關于剪切作用力分量，在截面上任一點的剪切作用力分量垂直于半徑的方向，由剪切作用力分量產生的總力矩是所有剪切作用力在整個截面上扭矩的積分。

由圖4可知，這兩個力分量大小可由下式給出

圖4 縱波在螺旋溝槽中的分解

(20)

F2T=F2sin(θ)

(21)

式中:θ為螺旋溝槽的螺旋角。

根據振動系統的縱向振動及扭轉振動理論，縱向力將驅使傳振桿產生縱向振動，而剪切作用力將驅使傳振桿產生扭轉振動。剪切作用力產生的扭矩M可以表示為：

(22)

由圖3可知，傳振桿任意橫截面面積s為

(23)

式中:r為傳振桿任意橫截面的截面半徑;r1為實心部分，即傳振桿小端半徑；α1為相鄰溝槽間未切除部分對應的圓心角;α2為溝槽部分對應的圓心角。

(24)

傳振桿任意橫截面上的剪切作用力f為

(25)

將式(24)、式(25)式代入(26)可以得到

(26)

式中,傳振桿大端端面半徑為r2。

化簡并求得

(27)

故由于螺旋溝槽的存在， 可使單向模態的縱向振動激勵實現超聲縱-扭復合振動的輸出。

2 縱-扭復合超聲變幅桿的設計

2.1 螺旋溝槽變幅桿的設計

為了同時獲得較大的放大系數和形狀因素，設計長度為二分之一波長，過渡段為圓錐形的階梯型復合變幅桿[18]。如圖5所示，各截面的振動位移微分方程可由式(28)表示，各截面面積方程可表示為S(x)=S1，S(x)=S2(x)，S(x)=S3其中S2(x)是圓錐形的截面積，由截面的波動方程

圖5 復合變幅桿結構

(28)

式中：k=ω2/c2，k為圓波數；ω為圓頻率；c為縱波在細棒中的傳播速度。

設計工作頻率35 kHz，變幅桿材料選用疲勞強度較高且易加工、價格低廉的45#鋼，設變幅桿大端半徑R1=15 mm，小端半徑R2=6 mm。經計算得L1=30 mm，L2=35 mm，L3=17 mm，放大倍數m=3.6。

在變幅桿圓錐段均勻開設四條槽寬為d=8 mm，槽深為h=7.5 mm的螺旋溝槽，槽形結構如上文所示。開設溝槽后，變幅桿的質量及振型均發生變化，其諧振頻率相對開設前有少量偏移，對變幅桿的結構尺寸微調以減小其頻率偏移。利用三維建模軟件PRO-E對變幅桿進行建模，導入有限元分析軟件ANSYS中，對其進行模態分析[19]。網格劃分時選取20個節點的solid95單元，采用自由網格劃分，設精度等級為4，模態分析提取方法為Subspace，模態拓展階數為10，模態搜索設置范圍為30～40 kHz，分析結果如圖6所示。

圖6 螺旋溝槽變幅桿的模態分析

通過模態分析的振型向量圖可知，螺旋溝槽結構對變幅桿的振型進行了轉換，從而使變幅桿輸出縱-扭復合振動，與理論推導結果相吻合。

2.2 扭縱轉換比的優化調整

超聲縱扭復合加工系統的振動軌跡是一個橢圓，不同的扭縱轉換比e對橢圓的形狀具有一定的調整，從而適應不同的超聲加工應用場合。定義變幅桿端面上不在軸線上的任意點P的扭轉振動位移Un與縱向振動位移Uz之比為扭縱轉換比e，即:

e=Un/Uz

(29)

由式(27)可知，切向力產生的扭矩M與眾多參量相關：縱向慣性力F由縱振換能器提供，為定值；r1、r2為復合變幅桿尺寸，也為確定值。

由圖1可知，α1、α2與螺旋溝槽的槽寬d及槽深h相關，故扭矩M與溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h等變量相關，即扭縱轉換比e與此三個因素的取值有關。

對于螺旋溝槽變幅桿，其輸出的振動為縱-扭復合振動，模態分析中相對位移值是復合振動中各個振動方向相對位移值的耦合，文中所定義的放大倍數m是變幅桿輸出端的相對位移值U3與輸入端的相對位移值U4的比值。

m=U3/U4

(30)

采用單因素變量分析方法，分別改變螺旋溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h，對變幅桿進行模態分析，提取相同縱-扭復合振動模態，變幅桿放大倍數m隨溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h變化曲線,如圖7所示。

圖7 螺旋溝槽參數對變幅桿放大倍數m的影響

由圖7可知，螺旋溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h的改變對螺旋溝槽式變幅桿的變幅桿放大倍數m基本沒有影響。

模態分析中顯示的位移不是絕對位移，采用相對位移代替絕對位移，從而確定變幅桿的扭縱轉換比e。扭縱轉換比e隨螺旋溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h變化曲線,如圖8所示。

由圖8可知，扭縱轉換比e隨螺旋角度的增大而先增大后減小，并在角度為40°時達到扭縱轉換比e的峰值。轉換比e隨螺旋溝槽的槽深h的增大而增大；當槽寬d增加時，扭縱轉換比e有少量的增加。

結合圖7結論可知，螺旋溝槽結構參數的變化對振動的“總量”基本沒有改變，只是改變了縱向振動向扭轉振動的轉換比例。基于螺旋溝槽參數對扭縱轉換比e的影響規律，通過優化螺旋溝槽的各個參量，得到符合設計要求的縱扭轉換比：槽深h的增加會使扭轉分量增大，但過大的h會降低變幅桿的剛性及強度；過小的螺旋角度θ使溝槽的螺距變小，會造成變幅桿應力集中問題。根據設計要求，結合機械加工難度，綜合考慮以上因素，將螺旋溝槽參數設置如表1所示。

表1 螺旋溝槽參數的設置

圖8 螺旋溝槽參數對扭縱轉換比e的影響

Fig.8 Influence of the helical slots parameters on the torsional-longitudinal conversion ratioe

在此參數下，縱扭變幅桿的扭縱轉換比e為0.61。

2.3 縱-扭復合超聲變幅桿的動力學分析

瞬態動力學分析稱作時間歷程分析，是確定固體結構在承受隨時間變化的載荷時的動力學響應。而超聲波電源是將交流電轉換成超聲頻的簡諧振動信號，因此對設計的螺旋溝槽變幅桿在簡諧電壓激勵作用時進行瞬態動力學分析，以得到變幅桿輸出端X、Y、Z方向位移的大小。

在變幅桿大端節面輸入正弦縱波激勵信號為5×sin(2πf×TIME)，工作頻率為35 kHz。取20個周期，每個周期分為30個時間段，通過ANSYS有限元分析軟件進行求解，圖9是變幅桿輸出端圓周上質點P在X、Y、Z方向的位移-時間曲線，由圖9可知，質點P的三個方向都產生了位移，且X、Y、Z方向的位移均呈現出正弦規律變化。Y方向沿變幅桿軸線，為縱向振動方向，X方向及Z方向為縱向振動的垂直方向，兩個方向的振動耦合成了變幅桿的扭轉振動。

利用origin軟件對三個方向的位移數據進行擬合，獲得質點P的運動軌跡曲線,如圖10所示。該質點P在一個周期內的運動軌跡為一段螺旋曲線，即變幅桿實現了二維縱-扭復合振動的輸出。

3 試驗分析

3.1 阻抗特性試驗研究

機械加工出前文設計的螺旋溝槽式縱-扭變幅桿，

圖9 質點P在X、Y、Z方向的位移-時間曲線

Fig.9 The displacement-time curve of the particlePin theX,Y, andZdirections

圖10 質點P在一個周期內的運動軌跡

將縱-扭變幅桿與縱振超聲換能器相連，采用型號為PV70A阻抗分析儀對所加工后縱-扭超聲振子進行阻抗分析，阻抗測試現場如圖11所示。測試結果如圖12所示。由圖12可知，變幅桿實測諧振頻率與模態分析得到的頻率有500 Hz的誤差，究其原因有二：①有限元仿真定義的材料是均勻的，而實際制作變幅桿的材料均勻性不足，存在或多或少的缺陷；②機械加工的變幅桿結構與有限元仿真時所用的三維模型有一定的出入。但誤差在可接受范圍內。變幅桿導納圓圓度較好，電導曲線正常,如圖12所示。變幅桿的機械品質因數較高，即其電聲轉化效率高，說明所設計變幅桿的尺寸及其結構均較為合理。

圖11 阻抗分析現場

圖12 阻抗分析結果

3.2 振幅特性試驗研究

采用自行設計的型號為Z16的超聲電源對縱-扭振子進行激勵。變幅桿輸出端的是縱-扭復合振動，其輸出端面的縱向振幅是均勻的，而變幅桿小圓柱端不同直徑的同心圓的上的扭轉振幅是不一樣的。所以對變幅桿端面加工出一個微小臺階，如圖13所示。

圖13 變幅桿的加工形狀

前文中有限元分析中質點P距變幅桿變幅桿軸線距離為6 μm，在變幅桿加工出的臺階上確定測定點P′，點P′與點P在同一圓周上。通過高精度的KEYENCE LK-G10激光位移傳感器對系統振幅展開測試，采用兩個激光發射器對系統的縱向振幅與扭轉振幅進行同時測試，對于縱向振幅，將激光束集中在變幅桿端面某點以測定縱向振幅Un，將另一激光束集中在測定點P′處以測定扭轉振幅Uz。針對每個方向，均在系統穩定工作十分鐘后，每隔三分鐘進行一次測試，共測試十次，取十次測試結果平均值作為該方向振幅值。測試現場如圖14所示。測試結果如圖15及圖16所示。

縱-扭復合振動系統的縱向振幅為Uz=7.2 μm，扭轉振幅為Un=4.8 μm。變幅桿輸出端質點P′的扭-縱轉換比

e=Un/Uz=4.8/7.2=0.65

(31)

與有限元分析所得扭-縱轉換比e的仿真結果基本一致。

4 結 論

本文結合理論推導及有限元分析，設計出螺旋溝槽式縱-扭變幅桿，并加工出實體進行實驗分析，實現對

圖14 振幅測定現場

圖15 縱向振幅

圖16 扭轉振幅

復合振動中縱扭振動分量的精確控制，進一步影響輸出端的運動軌跡，從而滿足不同加工場合所需的不同橢圓振動模式，得出以下結論：

(1) 基于簡諧波傳動理論，論證了螺旋溝槽處反射橫波的存在性，推導了螺旋溝槽結構的振型轉換機理，并利用模態分析結果進行驗證。

(2) 結合模態分析結果，揭示了螺旋溝槽角度θ、溝槽槽寬d及槽深h對扭縱轉換比e的影響規律，以此優化螺旋溝槽參數，實現了對縱-扭復合振動中扭縱轉換比e的確定與控制，并利用諧響應分析擬合出變幅桿輸出端的振動軌跡。

(3) 加工出實體變幅桿，通過阻抗分析表明其尺寸及結構設計合理性，并將變幅桿端面進行加工，利用激光位移傳感器測量出縱向振幅與扭轉振幅，驗證了有限元分析得出的扭縱轉換比的正確性。