薄壁圓環與剛性壁的碰撞和回彈

李 鴻， 鮑榮浩，2， 余同希

(1.浙江大學 航空航天學院，杭州 310027;2.北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081;3.香港科技大學 工學院，香港 九龍清水灣)

薄壁圓環作為一種簡易的能量吸收裝置，過去五十年來有眾多學者對它做了大量的理論和實驗研究。DeRuntz等[1]率先研究了位于兩剛性壁之間的薄壁柱形管的準靜態壓縮，建立了理想剛塑性圓管的理論分析模型，提出了由四個塑性鉸所構成的圓管坍塌機制及壓潰力計算公式。Burton等[2]認為側向受壓圓管在變形過程中會出現六個塑性鉸，其中四個塑性鉸位于圓管與剛性壁接觸的扁平區域，另外兩個塑性鉸位于圓管上距剛性壁擠壓中心最遠的位置。基于理論和實驗結果的差別，Reid等[3]考慮了材料強化效應所帶來的影響，對DeRuntz和Hodge的理想剛塑性模型進行了改進。他們指出忽略應變強化在變形模式在結構的后屈服階段會導致較大的誤差。余同希[4]研究了剛塑性圓環受一對徑向集中力的拉伸問題，分析了大變形引起的幾何非線性對承載能力的影響。上述研究都是基于圓環的準靜態大變形理論。

對于圓環在沖擊和碰撞下的動力學問題，由于結構的慣性效應和材料的應變率效應，圓環的行為同靜態時有著很大的差別。Reid等[5-10]對圓環受落錘的撞擊進行了一系列實驗研究和理論分析；基于實驗觀察到的現象，他們提出了用來解釋漸進壓潰變形的結構沖擊波模型，指出能量吸收主要源于環外緣的塑性變形。Suzuki[11]對圓環受分布式脈沖載荷的動力學行為進行了理論研究和數值分析。Liu等[12]對由多個圓環所組成的一維圓環系的撞擊問題進行了實驗研究和數值模擬，他們用分離式Hopkinson壓桿研究了碰撞中一維應力波的傳播過程，但沒有討論圓環的變形和失效機制。

在結構碰撞中，還有另外一類問題，即運動中可變形結構與其他結構(可以是剛性結構，也可以是另外一個可變形結構)的自由碰撞，前人對該類問題還缺乏系統的研究。Bao等[13]用有限元方法首次研究了運動中的薄壁圓環與剛性壁的自由碰撞與回彈問題，指出自由碰撞與準靜態壓縮和動態壓縮具有不同的塑性坍塌機制。他們分析了薄壁圓環無量綱的初始速度及無量綱的幾何參數對碰撞時間、碰撞后質心的回彈速度及恢復系數(Coefficient of Restitution，COR，定義為圓環碰撞后質心速度與碰撞前初始速度之比)等的影響。他們指出，當碰撞為完全彈性(也就是說沒有任何塑性變形)時，圓環的恢復系數約為3/4，且與圓環的初始速度及圓環的材料特性無關，這和傳統意義上對于完全彈性碰撞問題的理解(恢復系數為1.0)完全不同，其原因在于應力波傳播及/或結構彈性振動將帶走部分能量。Bao等[14-15]還研究了薄壁空心球與剛性壁的自由碰撞與回彈問題，發現薄壁空心球在初始速度較低時，COR?1.0，當初始速度超過臨界值后，結構在碰撞區域附近由于局部屈曲而發生反轉，局部振動所消耗的能量使得COR<1.0。Bao等還分析了彈塑性情形下的自由碰撞。

Xu等[16]利用改造后的Hopkinson裝置，對薄壁圓環的自由碰撞進行了實驗研究，詳細報導了圓環的碰撞和回彈行為。本文將以Xu等的試驗作為研究對象，驗證采用有限元方法研究該類問題的準確性和適用性，以期將來能用有限元方法進一步研究復雜結構的自由碰撞問題，從中發現復雜結構影響回彈特性的一些關鍵因素。

1 碰撞試驗及有限元模型

Xu等利用改造后的霍普金森裝置對薄壁圓環的自由碰撞進行了相關的實驗研究。他們用6061-T6鋁合金制備了三種不同規格的圓環，其外徑(D)和厚度(h)分別為：①D=28.5 mm,h=0.91 mm;②D=25.4 mm,h=0.91 mm;以及③D=25.4 mm,h=1.28 mm。這三種圓環所對應的厚徑比(η=h/R，R=D/2)分別為0.064，0.072和0.1。根據ASTM E8M-08測試標準，他們通過拉伸試驗測得制作薄壁圓環鋁合金的楊氏模量約為70 GPa，屈服應力為299～302 MPa，密度為2 670 kg/m3。由此可以計算出這種材料的屈服速度[17]為VY=21.7 m/s。在分離式Hopkinson壓桿裝置的導軌上安裝了一段特制的圓環導管，使得薄壁圓環被木質子彈擊發后在導管中能保持水平的飛行姿態，并沿軸向自由撞擊在Hopkinson桿的一端,如圖1所示。試驗中Hopkinson桿的直徑為37 mm，在距離碰撞端250 mm處沿軸向貼有電阻式應變片，用來采集壓桿內的應變信號的變化，并換算為碰撞力。實驗中使用每秒50 000幀的高速攝像機，用以記錄圓環在碰撞過程中的變形全過程，并通過對圖像的處理得到碰撞前和回彈后薄壁圓環質心的速度。

(a) 示意圖

(b) 試驗裝置

以Xu等的試驗為依據，采用商用有限元軟件ABAQUS[18]建立與之相應的有限元模型，如圖2所示。為了提高計算效率，考慮到結構的對稱性，有限元模型中只包含有整個結構的1/4，在相應的邊界上施加合適的位移對稱性條件。其中，入射桿部分采用C3D8R實體單元，圓環部分采用S4R殼體單元，殼體單元沿厚度方向采用5個點的高斯積分。這里單元類型后的‘R’代表縮減積分。單元的尺寸大小經反復試算后滿足結果的收斂性要求。圓環的外表面和入射桿的側面定義為ABAQUS面和面之間的接觸對(contact pair), 圓環內表面定義為ABAQUS的自接觸對(self contact)。經試算后發現，摩擦因數的變化對本問題研究結果沒有明顯的影響，因此所有接觸對均采用ABAQUS中無摩擦的硬接觸 (hard contact)模型。ABAQUS有兩個結構動力學分析模塊:①采用顯式算法的Explicit模塊;②采用隱式算法的Implicit模塊。圓環的側向撞擊是個II類問題，其碰撞載荷在碰撞瞬間就會達到最大峰值，如果采用Explicit(顯式)模塊，碰撞載荷峰值將與時間增量步的步長相關，且隨時間增量步的步長的減小而增大。如果采用ABAQUS的Implicit模塊，只要能在碰撞峰值點附近采用足夠小的時間增量步長，碰撞載荷的峰值將趨于一個收斂的結果。在用Implicit模塊計算時，如果采用較小的時間增量步長，計算將會非常耗時。因此，本文根據處理目標的不同(碰撞載荷峰值、碰撞時間、圓環的變形過程及回彈速度等)分別采用不同的模塊進行計算，計算步中總時間的設定要保證能完整地觀察到圓環與Hopkinson桿的分離過程。由于Hopkinson桿的總質量遠大于薄壁圓環的質量，經計算后發現Hopkinson桿邊界條件的設定(圖1中的左端設為自由或固定)及Hopkinson桿的楊氏模量對計算結果亦無明顯的影響，因此在后面對參數的影響進行系統分析時，我們用一固定的剛性壁來代替圖2模型中的Hopkinson桿，以提高計算效率。

(a) 整體模型

(b) 局部細化圖

2 試驗和計算比較

2.1 入射桿上的應變

試驗中在Hopkinson桿距離撞擊面250 mm處沿軸向貼有電阻應變片，用以采集該處的應變信號，進而分析碰撞力的變化(見圖1)。試驗中為了去除高頻噪聲的影響，需對采集到的原始信號用125 kHz的截止頻率進行濾波。用Explicit模塊計算時，只要網格劃分足夠精細，貼有應變片處附近的應變變化不是十分明顯，因此我們可以在該處附近的表面沿軸向任選兩個節點，用這兩個節點之間的平均應變來代替應變片處的應變值。在用Implicit模塊進行計算時，為了得到準確的應變波形，不斷減小時間增量步長，直至應變波形趨于穩定。

圖3給出了η=h/R=0.1的圓環以v0=17.2 m/s的初速度撞擊Hopkinson桿后，貼應變片處的應變歷程曲線;圖3(a)為用Explicit模塊計算的結果，圖3(b)為用Implicit模塊計算的結果。從圖3可知,在碰撞開始后該處的應變急劇上升并且很快達到峰值，然后呈現反復的震蕩，但此后的峰值均小于撞擊后的第一個峰值。在約0.3 ms時，桿上的應變值逐漸趨向于零，反映出總的碰撞時間大約為0.3 ms。通過比較，有限元顯式和隱式方法計算得到的應變曲線和實驗測量的應變曲線度都比較吻合，說明本文的有限元模型能準確模擬在這一試驗條件下Hopkinson桿上的應變變化歷程。

(a) Explicit模塊計算的應變

(b) Implicit模塊計算的應變

圖4給出了相同尺寸的圓環以其它初速度碰撞的應變歷程曲線。在每種情況下，ABAQUS/Explicit模塊和ABAQUS/Implicit模塊計算得到的應變曲線和試驗測量的應變曲線都較為接近，變化趨勢也相同，進一步說明有限元方法能夠準確反映碰撞實驗中Hopkinson桿上應變的真實情況。對有限元的兩種計算方法加以比較，可以發現Explicit模塊計算應變與試驗測得的應變更為接近。同時，也應注意到，隨著圓環初始速度的增大，計算得到的應變峰值和試驗數據經濾波后峰值之間的差異在逐漸增大。

(a)v0=52.5 m/s的圓環應變比較

(b)v0=91.8 m/s的圓環應變比較

圖4 不同初速度的圓環實驗對應的Hopkinson桿上的應變歷程曲線

Fig.4 Strain history on the bar after impact of rings with different initial velocities

2.2 圓環的變形比較

實驗中采用每秒50 000幀的高速攝像機記錄了圓環的變形過程。我們采用Explicit模塊，計算中設置和實驗拍攝的相同時間點輸出圓環的變形圖。圖5給出η=0.1，初始速度分別為v0=17.2 m/s(a)、52.5 m/s(b)及91.8 m/s(c)時，圓環在碰撞及回彈過程中的變形情況。每個圖中上部分為ABAQUS模擬得到的變形圖，下部分為高速攝像機拍攝的變形圖。從圖5可知，在每個時間點，有限元模擬的變形圖和實驗中拍攝到的變形圖都十分相近，這也充分說明用有限元模擬圓環碰撞的準確性。

比較圖5中不同初速度的圓環碰撞后的變形過程，發現初始速度V0從17.2 m/s增大到91.8 m/s，圓環的變形幅度不斷增大，說明圓環的塑性變形程度隨著初始速度的增大而增大，由塑性鉸所組成的動態變形機構的和準靜態壓縮及落錘撞擊壓縮所形成的變形機構大不相同。同時可以看到，當初始速度達到91.8 m/s時，由于應力波傳播的影響，在碰撞區的對面一側也會形成一個塑性鉸，使得圓環最終變成“花生”形。

2.3 圓環的回彈速度和恢復系數的比較

和落錘撞擊圓環問題不同，圓環的自由碰撞問題還需要研究碰撞結束后可變形物體的回彈特性。為了反映碰撞過程中的能量損失或者碰撞后能量的重新分配，通常用可變形物體的回彈速度或者COR來表征。COR有三種定義方式，其中最直觀的是可變形物體回彈后的速度與回彈前速度之比

(1)

式中,v0為圓環的初速度，vr為圓環回彈后質心的速度(自由飛行時，質心速度保持不變)。如果考慮到另外一個結構也是可變形或者是在運動，恢復系數就比較復雜，這里我們不展開進行討論。

為了減少材料參數對結果的影響，我們將初始速度用材料的屈曲速度vY無量綱化，

(2)

對于三類不同厚度外徑比η的圓環，圖6給出了圓環回彈速度與初始速度之間的關系。其中用小圓點表示的虛線是有限元計算結果，離散的三角形符號是實驗用圖像處理分析得到的結果。從圖6可知，當初始速度比較低和初始速度比較高時，實驗得到的結果和有限元計算得到的結果都非常接近；但當無量綱初始速度位于2～3時，兩者存在明顯的差別，具體的原因有待進一步的分析。從中還可以看到，在無量綱初始速度小于2時，回彈速度隨著初始速度的增大而提高。在壓縮過程中，可以近似地認為結構的動能通過碰撞力轉化為結構的彈性變形能，使彈性變形能隨壓縮量的增大而不斷增加，在壓縮結束時達到最大值；在回彈過程中，儲存于結構中的彈性變形能通過接觸力重新轉化為結構的動能，使得壓縮量不斷減少，直到碰撞物和靶子(如Hopkinson桿)完全分離為止。從中可以看到分離后碰撞物體的回彈速度和儲存于結構中的最大彈性變形能有關，在無量綱初始速度接近2時，回彈速度接近最大值，其最大值約為材料屈服速度的0.6倍。隨后，隨著初始速度的增大，從彈性變形能中所恢復的動能比例越來越低，從而使得回彈速度不斷下降，趨近材料屈曲速度的約1/10。

(a) v0=17.2 m/s

(b) v0=52.5 m/s

(c) v0=91.8 m/s

(a) η=0.064的圓環回彈速度對比

(b) η=0.072的圓環回彈速度對比

(c) η=0.1的圓環回彈速度對比

圖6 試驗和圓環有限元計算的回彈速度對比

Fig.6 Comparison of rebound velocity

圖7為三種圓環用有限元計算得到的恢復系數隨初始速度的變化圖。從圖7可知，隨著初始速度的增加，恢復系數不斷下降，其下降趨勢在無量綱初始速度接近為1處有明顯的變化，其原因在于不同失效模式的轉換(從四鉸模式轉換到五鉸模式)，使得塑性鉸耗散了更多的能量。同時可以看到，恢復系數和圓環的厚徑比(η=h/R)沒有明顯的關系，由此可以清晰地看到影響此類結構恢復系數的主要因素在于初始速度，而不是結構的幾何參數。

圖7 有限元計算的不同初速度下的恢復系數

2.4 碰撞力數據處理和比較

為了分析碰撞力隨時間的變化過程， 實驗中測量了Hopkinson入射桿(用來模擬碰撞中的剛性壁)上距離碰撞點足夠遠處軸向的應變，應用一維彈性波理論，可以計算圓環與Hopkinson桿碰撞所產生的碰撞力，

F(t)=E0A0ε(t)

(3)

式中,E0是鋁制Hopkinson桿的楊氏模量，A0是桿的橫截面積,ε(t)是測量到的應變。本實驗中，E0=70 GPa，A0=1 075.21 mm2。在試驗中，由于電子設備運行時所產生的噪聲，需要對測量到的應變數據進行濾波。試驗中應變的采樣頻率為f=2 500 Hz，濾波的截止頻率應與噪聲的特征有關，經反復嘗試后，發現125 kHz是較為合理的截止頻率。

(a) v0=17.2 m/s

(b) v0=91.8 m/s

用ABAQUS/Explicit模塊計算時，計算結果的采樣頻率會影響到碰撞載荷的波形，因此需要對碰撞載荷進行濾波。圖9是初始速度v0=17.2 m/s時用Explicit模塊計算出的碰撞力波形以及用不同截止頻率濾波后的結果。可以看出，原始的碰撞力曲線的峰值到達了2.4 kN，并且在碰撞過程中，波形變化十分劇烈。用不同的截止頻率濾波后，碰撞力峰值大幅減小，但是不同截止頻率下曲線的峰值差異十分明顯。比較其它速度情況下對Explicit模塊計算的碰撞力曲線的濾波結果，發現Explicit模塊計算出的碰撞力都有相同的特征，即峰值明顯偏高，并且濾波的截止頻率對濾波后的峰值有較大影響，這將導致無法確定合理的濾波頻率，不能得到準確的碰撞力峰值。這說明Explicit模塊不適合用來計算碰撞力的峰值。

(a) Explicit模塊計算的碰撞力波形

(b) 碰撞力波形濾波的結果

圖9v0=17.2 m/s時Explicit模塊計算的碰撞力波形和濾波結果

Fig.9 CFNM by ABAQUS/Explicit and filtered results

圖10給出三種厚徑比的圓環在不同初始速度下的碰撞力峰值，其中有限元的碰撞力峰值都是由ABAQUS/Implicit模塊計算而來。按照文獻[16]中給出的數據，厚徑比η=0.064的圓環質量約為1.9 g；厚徑比η=0.072的圓環質量約為1.8 g；厚徑比η=0.1的圓環質量約為2.3 g。從圖10可知，η=0.064和η=0.072對應的兩條曲線十分接近，而η=0.1對應的曲線始終在最上方，說明在相同初始速度下，碰撞力峰值主要由圓環的質量決定，而與無量綱幾何參數厚徑比關系不大。并且，有限元計算和實驗測量的結果都表明，碰撞力峰值與初始速度之間并非簡單的線性關系，兩者的數學表達式需要進一步的定量分析。

圖10 碰撞力峰值與初始速度的關系

2.5 加筋對圓環回彈特性的影響

為了研究圓環內部結構變化所帶來的影響，我們分析了如圖11所示加筋圓環的回彈特性。其中圖11(a)在直徑方向布置了一根筋條，圖11(b)在直徑方向布置了兩根相互正交的筋條，所有筋條與薄壁圓環具有相同的厚度。為簡單起見，這里我們只討論初始速度比較低時所發生的彈性碰撞，并詳細分析碰撞位置(用角度θ來衡量)的影響。

(a) 加一條筋

(b) 加兩條正交筋

圖12反映了圖11所示加筋圓環的恢復系數隨碰撞位置θ的變化特性。從中可以看到兩種加筋圓環的回彈特性有著非常顯著的差別，特別是加一條筋的圓環，有兩個明顯的變化過程，造成這種變化的原因有待于以后的進一步研究。同時也說明我們需要對更多的薄壁結構進行回彈特性分析，以正確理解恢復系數和結構形式之間的關系。

3 結 論

首先，用有限元模擬了不同厚徑比和初速度的薄壁圓環對Hopkinson桿的自由撞擊和回彈行為。編寫了基于ABAQUS/Explicit和ABAQUS/Implicit的計算分析程序，對圓環的幾何尺寸和初始速度完成了系統的參數分析。對照試驗條件，用有限元模擬了三組圓環的碰撞實驗，比較了Hopkinson入射桿上相同位置的應變歷程，比較了圓環碰撞及回彈過程中的變形，以及圓環的回彈速度和恢復系數。得到了以下一些結論：

圖12 碰撞位置對恢復系數的影響

(1) 比較各種初速度下的碰撞，有限元顯式方法和隱式方法模擬得到的桿上應變歷程與文獻[16]中試驗結果相符，說明用有限元法能準確反映出這一類碰撞過程中的應變歷程。

(2) 比較了不同初速度的圓環在碰撞過程中的變形過程，在相同的時間節點，有限元模擬的和實驗拍攝到的圓環變形圖像基本相同，進一步證實了有限元法模擬碰撞過程的準確性。另外，有限元法能清晰地給出不同初速度碰撞后，圓環中塑性鉸的產生和演化過程，由此總結出圓環不同的坍塌失效模型。

(3) 對不同厚度外徑比的圓環在不同初速度下的碰撞進行有限元模擬。初速度小于材料屈曲速度的2倍時，回彈速度隨初始速度增加而增大，在材料屈服速度約2倍時，回彈速度達到最大值，約為材料屈曲速度約0.6倍，隨后回彈速度隨初始速度的增加而不斷減少。而恢復系數隨初始速度的增加不斷減小，且與圓環的厚度外徑比等幾何參數無明顯關系；在初始速度約為材料屈曲速度的約1倍時，由于失效模式的轉換，恢復系數有明顯的變化。

(4) 通過不斷減小隱式方法的時間步長，計算出準確的碰撞力峰值。比較隱式方法計算的碰撞力脈沖與桿上應變計算得到的碰撞力脈沖，發現在低速情況下，應變波形和碰撞力波形比較接近；但在初始速度較高時，兩者的波形不能吻合，并且峰值相差極大。這說明在高速碰撞時，用測量桿上應變的方法計算碰撞力是不合理的，需要提出更可靠的實驗方法來測量碰撞力脈沖，并輔以更精準的數據處理方法來計算碰撞力峰值。

(5) 圓環內部的加筋形式及碰撞方向對加筋圓環的回彈特性有著非常明顯的影響。