有側移框架臨界承載力的實用計算方法

蘭樹偉， 周東華， 雙 超， 韓春秀

(1.昆明理工大學 建筑工程學院，昆明 650500；2.云南民族大學 電氣工程學院，昆明 650500)

框架的穩定是工程中不能忽視的問題，有側移失穩是框架結構最普遍的失穩形式。要解決有側移框架的穩定問題，最有效的方法就是求出框架的臨界荷載，使結構實際能夠承受的荷載低于臨界荷載，以保證結構不發生失穩?？蚣芙Y構在臨界失穩狀態下，實際能夠承受的臨界荷載稱之為框架臨界承載力?？蚣艿膫纫苿偠容^小，通常是有側移的失穩起控制作用，有側移框架臨界承載力的求解，是將荷載換算為集中力作用于各層柱的節點頂進行計算，不考慮柱子初始缺陷和水平荷載因素的影響，目前主要采用計算長度系數法[1-2]。該方法能夠利用《鋼結構設計規范》[3]提供的計算長度系數表格方便地求得框架柱計算長度系數，逐個構件校核計算結構的臨界承載力，而框架結構中通常構件數量很多，構件參數變化多，實際應用多有不便；而且該法是在理想化假定下進行求解，無法考慮同層柱之間的相互支援以及上下層柱間的相互支援作用。童根樹[4]研究了框架層與層之間的相互支援作用，得出了兩層框架柱計算長度系數的精確解，并提出了三層及多層框架的求解方法，其需要求解眾多參數和求解復雜的代數方程。郝際平等[5]以傳統計算長度系數法為基礎，提出了層支援系數的概念，對多層規則框架整體穩定進行計算,其需要逐根構件查表求解計算長度系數，應用較為不便。本文放棄了傳統計算長度系數法，從結構穩定狀態的物理意義出發，提出了結構內剛度和外剛度的概念，采用框架重復單元求解出框架結構抗側剛度，尋求計算有側移框架臨界承載力的簡便實用計算方法，可為工程應用提供理論基礎，該法對高層框架和抽柱、豎向縮進等不規則框架臨界承載力的求解也有很好的精度，具有普遍的適用性，可供工程設計使用。

1 結構二階內、外彎矩及內、外剛度

(1)

圖1 平衡狀態的穩定性

(2)

式(2)其物理意義為荷載外剛度對結構內剛度的削弱程度，當處于臨界狀態時結構內剛度被削弱至零。這種削弱現象的力學模型可利用搖擺柱受力特性來模擬(圖2(a))，內剛度用一個彈簧表示，其剛度為K0，在搖擺柱柱頂施加荷載P，產生側移δ，對下端取矩：Pδ-K0δ·h=0，可得出結構外剛度與內剛度臨界狀態表達式

(3a)

(3b)

圖2(a)的力學模型中α=1.0。將前述彈簧用有側移失穩三種類型受壓柱替換，其失穩力學模型如下：①下端固定、上端自由的軸壓桿(見圖2(b)),當P→Pcr,K0→0，此時α=Pcr/P0cr=1.216；Pcr為圖2所示結構臨界力，P0cr為圖2所示結構荷載直接施加于原結構柱頂的臨界力，搖擺柱柱頂荷載為零，α稱為二階效應影響系數；②兩端固定但可相對側移的軸壓桿(見圖2(c)),當P→Pcr,K0→0時,α=Pcr/P0cr=1.216；③兩端轉動約束但可相對側移的軸壓桿(圖2(d)),當P→Pcr，K0→0，隨著轉動約束剛度變化，α=Pcr/P0cr在1.0～1.216變化；可由式(4)計算求得。

(4)

式中：R1、R2分別為柱上、下端橫梁線剛度之和與柱線剛度之和之比。

(a)搖擺柱受力(b)上端自由軸壓桿(c)兩端固定軸壓桿(d)兩端轉動軸壓桿

圖2 力學模型

Fig.2 Mechanical model

有側移框架結構失穩的力學模型,如圖2(a)所示。彈簧用框架進行替代，橫梁對柱的約束可采用圖2(d)中轉動彈簧來替代，因此其穩定狀態可用結構外剛度與內剛度之間的關系式(2)進行表達，即框架有側移失穩臨界狀態關系式為Ki-Ka=0，此時框架的內剛度被削弱至零。其中，內剛度Ki為未受豎向荷載作用框架整體抗側剛度，用K0表示；外剛度Ka可視為外荷載對框架抗側剛度的削弱程度。

2 確定框架結構整體抗側剛度

如圖3(a)所示的多層框架，假定第i層層間相對位移δi，層抗側剛度為Ki，為求解框架整體抗側剛度，如圖3(b)所示將每層抗側剛度視為一個彈簧，框架整體抗側剛度可視為每個彈簧的串聯，因此，框架整體抗側剛度K0與層抗側剛度之間的關系式為

(5)

圖3 多層框架及簡化模型

Fig.3 Multi-story frame and simplified model

多層框架屬于超靜定結構，超靜定未知量隨著層數的增加而增加，直接求解框架整體抗側剛度是非常困難的。結構通常沿房屋高度不斷地重復一個樓層的梁、柱布置，每個樓層稱之為重復單元(見圖4)，對于梁單元來說，它同時又是另一樓層單元的一部分，因此樓層重復單元采用梁截面特征值的一半。因此，求解框架層抗側剛度，只需分析一個樓層重復單元，這樣可使超靜定未知量大大減少。假定樓層重復單元合適的邊界條件(見圖4(a))，忽略桿件軸力影響；假定反彎點在柱中和梁跨中，框架結構樓層重復單元梁柱變形如圖4(b)所示。有如下關系[8-9]

(a)重復單元邊界條件(b)重復單元變形

圖4 框架結構樓層重復單元

Fig.4 Story repeating element of frame structure

H=V=Kδ

(6)

(7)

圖5 多跨框架樓層重復單元

圖6 1/2對稱樓層重復單元彎矩圖

(8)

根據框架變形幾何關系(見圖4(b))，可求得：

(9)

根據式(6)、式(7)及式(9)可求得框架層抗側剛度，也稱為框架層內剛度

(10)

框架底層受固端約束影響反彎點常常不在柱中，受此影響若采用式(10)計算底層內剛度存在一定偏差，因此對框架底層采用反彎點在層高2/3的假定[12]。由于固端約束可視為剛度無窮大的梁，因此利用樓層重復單元計算層抗側剛度時將底層梁慣性矩乘2m+1的放大系數加以修正，按照前述圖乘法計算得到底層層抗側剛度近似計算公式為

(11)

將式(10)和式(11)代入式(5)可以得出未受到豎向荷載作用下，框架整體抗側剛度關系式為

(12)

3 框架臨界承載力計算公式

由式(3)可得框架層軸力外剛度為

(13)

式中:αij為第i層第j柱的二階效應影響系數，可由式(4)計算；Nij為第i層第j柱的軸力。

按照框架整體抗側剛度的求法，將框架整體軸力外剛度表示為

(14)

(15)

式(15)右側每個Nij都是未知量，但是這些未知量不是各自獨立的，他們之間是成比例關系的，即與初始節點荷載間的比例關系式一致的，這些系數是選取最小軸壓力Nmin作為公因子來計算的，這樣就使得眾多的未知量壓縮成了一個未知量，即：Nij=ξijNmin，其中：ξij為軸力比例系數，Nmin為最小軸壓力，則由式(15)可得框架臨界荷載的計算公式

(16a)

(Nij)cr=ξij(Nmin)cr

(16b)

式(16)即可求解出框架臨界承載力，該式要求要求各柱豎向荷載按照同一加載比例，可將各層的層抗側剛度(內剛度)同時削弱為零，即Ki-Kpi=0。這樣各層同時失穩而無相互支援的情況在實際工程中很少出現，若直接按式(16)進行計算框架臨界力，往往存在較大偏差，因此有必要分析框架層與層之間的支援作用對式(16)進行修正。為分析考慮框架各層之間相互支援作用，引入層內外剛度比系數

(17)

該系數實際是首先分別計算各層抗側剛度(層內剛度)與層軸力外剛度的比值，再計算各層內外剛度比與層最小內外剛度比的比值。層最小內外剛度比所在樓層為薄弱層，層內外剛度比系數χi=1，該層最容易發生失穩；其余各層層內外剛度比系數χi>1，說明存在富裕剛度，可對其余樓層進行剛度支援，最終達到框架各層同時失穩。這種支援是有限的，為研究層內外剛度比系數大于1的樓層對其余樓層的剛度支援程度引入層支援系數，通過該系數對式(16)進行修正，得到框架臨界承載力的計算式為

(18a)

(Nij)cr=ξij(Nmin)cr

(18b)

式中：ηi為層支援系數，反映了層與層相互支援時，層富裕剛度所能發揮支援程度，為關于層內外剛度比系數χi的函數。將計算結果進行函數擬合，可得

ηi=(χi)ψ

(19a)

(19b)

由式(18)還可得到下式計算各柱的計算長度系數。

(20)

式中：Iij為第i層第j柱的慣性距；(Nij)cr為式(18)求得的框架柱臨界承載力。

4 算 例

前面推導框架臨界承載力的計算公式不僅能考慮框架柱同層之間的支援也可以考慮上下層之間的相互支援作用。若用《鋼結構設計規范》的計算長度系數法來確定框架臨界承載力，是無法考慮這兩種支援作用的，容易導致不安全或過于保守的情況出現。為了展示這種差別，選取三個算例，用本文方法和計算長度系數方法進行計算與比較，同時也用有限元ANSYS進行了計算，以便對兩種計算結果進行比較。ANSYS求解時梁柱建模均采用簡單的梁單元beam3，節點均為剛接，材料為彈性，即進行的計算是彈性屈曲分析。

4.1 算例1

圖7所示的單跨雙層框架，用本文方法求解其臨界承載力以及計算長度系數。

圖7 單跨雙層框架及軸力、二階效應系數

Fig.7 Single-span two-story frame and axial force, second-order effects of frame columns

由式(12)求得框架整體抗側剛度

由式(4)可求得框架上、下層柱的二階效應系數分別為

α1=1.130,α2=1.076

代入式(13)可求得層外剛度分別為

由式(17)求得層剛軸比系數分別為

χ1=2.338，χ2=1.000(薄弱層)

代入式(19)可得

ψ1=-0.50,ψ2=-0.50

η1=0.654,η2=1.000

將相關參數代入式(18)可求得臨界承載力

表1 (Nmin)cr計算參數

表2 (Nmin)cr計算結果

表3 柱臨界承載力及計算長度系數對比結果

Tab.3 Compare results of column critical bearing capacity and calculated length factor

柱分項計算長度系數法①本文方法②ANSYS③①/③②/③2層Pcr/PE0.5050.6510.6280.8041.036μ1.4071.2391.2621.1150.9821層Pcr/PE1.2660.6510.6282.0161.036μ1.2571.7521.7850.7040.982

從表2可知，本文計算結果與ANSYS計算精確解的比值為1.036，誤差很小。而采用鋼結構設計規范的計算長度系數法計算結果的比值為0.804，誤差較大，這是由于規范計算長度系數法未考慮層與層之間的支援作用而導致的。從表3可知，規范計算長度系數法計算結果偏差很大，如1層柱計算長度比ANSYS小了30%，臨界力大了102%，嚴重高估了該柱臨界承載力，存在極大安全隱患；2層柱計算長度比ANSYS大了12%，臨界力小了20%，低估了該柱臨界承載力，較為保守。

4.2 算例2

圖8所示的三跨六層框架，用本文方法求解結構臨界承載力以及二層柱AB和三層柱CD計算長度系數。

本文方法求解，具體步驟如下：

步驟1 由式(10)和式(11)可求得框架各層抗側剛度Ki，根據式(12)求得框架整體抗側剛度K0，結果見表4。

步驟2 由式(13)可求得各層外剛度Kpi，根據式(17)計算層剛軸比系數χi，將其代入式(19)計算層支援系數ηi，列入表4。

圖8 三跨六層框架及軸力、二階效應系數

Fig.8 Three-span six-story frame and axial force, second-order effects of frame columns

步驟3 由式(18)計算框架臨界承載力Pcr，并根據式(20)計算柱計算長度系數。列入表5和表6。

表4 (Nmin)cr計算參數

表5 (Nmin)cr計算結果

由表5可知，計算長度系數法求得(Nmin)cr值與有限元ANSYS結果之比為0.593,偏差很大，這是由于傳統計算長度系數法無法考慮同層柱的柱間支援以及層與層之間的相互支援作用。本文方法與有限元計算結果之比為0.988，吻合較好且偏于安全，表明充分考慮了兩種支援作用。

表6 柱臨界承載力及計算長度系數對比結果

Tab.6 Compare results of column critical bearing capacity and calculated length factor

柱分項計算長度系數法①本文方法②ANSYS③①/③②/③ABPcr/PE0.3420.5670.5770.5930.983μ1.1400.8850.8781.2981.008CDPcr/PE0.4380.2270.2311.8960.983μ1.4241.9791.9620.7261.009

從表6可知，采用規范的計算長度系數法求得的計算長度系數與ANSYS計算結果相比誤差較大，如CD層柱計算長度比ANSYS小了27%，臨界力大了90%，高估了該柱臨界承載力，存在安全隱患；本文計算方法求得的柱計算長度系數與ANSYS計算結果比值分別為1.008、1.009，吻合好。

4.3 算例3

圖9所示的四跨六層框架，在第四層處存在豎向收進以及抽柱，用本文方法求解結構臨界承載力以及二層柱AB和三層柱CD計算長度系數。

同樣按算例2計算步驟進行計算，主要計算過程和計算結果列入表7～表9。本算例存在豎向收進及抽柱，屬于較復雜的框架結構，由表8結果可知，傳統計算長度系數法求得(Nmin)cr值與有限元結果之比為0.639,偏差仍然很大。本文方法求得的(Nmin)cr值與有限元計算結果之比為0.953，吻合較好且偏于安全，表明充分考慮了兩種支援作用。

表7 (Nmin)cr計算參數

表8 (Nmin)cr計算結果

從表9可知，柱AB和柱CD采用計算長度系數法求得的計算長度系數與ANSYS計算結果相比誤差仍然很大，AB柱計算長度比ANSYS大了25%，臨界力小

圖9 四跨六層框架及軸力、二階效應系數

Fig.9 Four-span six-story frame and axial force, second-order effects of frame columns

表9 柱臨界承載力及計算長度系數對比結果

Tab.9 Compare results of column critical bearing capacity and calculated length factor

柱分項計算長度系數法①本文方法②ANSYS③①/③②/③ABPcr/PE0.3420.5100.5360.6230.952μ1.1400.9340.9111.2511.026CDPcr/PE1.1760.4370.4592.5620.953μ1.3042.1392.0870.6251.024

了38%，低估了該柱臨界承載力，偏于保守；CD柱計算長度比ANSYS小了37%，臨界力大了156%，同樣嚴重高估了該柱臨界承載力，存在極大的安全隱患。本文計算的柱計算長度系數與有限元計算結果比值分別為1.026、1.024，吻合好。由此可以看出，本文計算方法同樣適用于復雜的框架結構臨界承載力計算，且具有一定的精度。

5 結 論

(1) 用結構的二階內、外彎矩及內、外剛度的關系揭示了結構穩定的物理意義，利用結構外剛度和內剛度的概念和關系，得到了結構臨界穩定狀態表達式，系統地闡述了有側移框架失穩的物理意義。

(2) 利用框架重復單元的概念對框架整體抗側剛度進行推導，得出了框架整體抗側剛度的計算公式。

(3) 利用結構外剛度與內剛度臨界狀態關系式，推導了框架整體穩定臨界承載力的計算公式，可很好地考慮同層柱的柱間支援和層與層之間的支援作用,彌補了目前規范計算長度系數法無法考慮這兩種支援作用的不足。

(4) 本文方法計算簡便，有很好的精度，可方便地計算出有側移框架的臨界承載力，避免了有限元整體屈曲分析以及傳統計算長度系數法逐根構件計算的不便。經算例結果對比發現，本文計算方法精度較高且適用于較復雜的框架結構，可供工程設計使用。