肘桿式壓力機機構動力學建模與分析向量鍵合圖法

王中雙， 韋 靜

(齊齊哈爾大學 機電工程學院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

肘桿式壓力機機構在現代壓力機械中得到了廣泛的應用[1]。實際工程中，由于該類機構在沖切時會突然受到沖擊載荷的作用，給機構運行帶來較嚴重的振動、沖擊及噪聲。因此，其動力學建模與分析問題的研究十分重要。現有的動力學建模與分析方法[2-3]，如牛頓-歐拉法(Newnton-Euler Method)、拉格朗日法(Lagrange Method)等，往往僅適用于單一機械能域系統的局部動力學，對多能域并存系統的全局動力學建模與分析問題具有局限性。針對這類問題，鍵合圖方法[4]優勢明顯，在實際工程中得到了日益廣泛的應用[5-8]。文獻[9]給出了平面連桿機構標量鍵合圖模型的建立方法，推導出系統驅動力矩(驅動力)及運動副約束反力方程的統一公式，實現了平面四桿機構的自動建模與動態靜力分析。對于較復雜的平面多體系統(例如：三角形肘桿壓力機機構)，其標量鍵合圖模型比較繁雜，應用十分不便。另外，所給出的系統驅動力矩及運動副約束反力方程的統一公式，是以系統獨立貯能場獨立運動的能量變量為狀態變量，實際應用時需用其以顯式的方式表示系統獨立貯能場非獨立運動的能量變量，這一過程往往比較繁瑣。文獻[10]給出了綜合考慮剛彈性耦合的平面柔性連桿機構標量鍵合圖模型的建立方法，基于其回轉鍵合圖實現了柔性四桿機構的動力學自動建模與動態靜力分析。該方法除具有上述標量鍵合圖法本身的不足之外，所給出的機構回轉鍵合圖比較抽象，物理意義不直觀。

針對上述問題，文獻[11]提出了向量鍵合圖的概念。除具備標量鍵合圖法本身的特點之外，向量鍵合圖包含信息量較大，可以用更加緊湊、簡明的圖形方式，表述復雜平面連桿機構的運動學及動力學特征，應用更加簡便。文獻[12]根據運動約束條件，建立了任意齒廓齒輪副的向量鍵合圖模型。在此基礎上，給出了建立含齒輪副平面多體系統向量鍵合圖模型的理論方法，實現了含齒輪副平面多體系統計算機自動建模與動態靜力分析。文獻[13]建立了雙行星輪輪系機構的向量鍵合圖模型，實現了雙行星輪輪系機構的計算機自動建模與動力學分析。文獻[14]基于二狀態非連續接觸模型，闡述了含鉸間隙平面四桿機構動力學建模與仿真的向量鍵合圖法。但在處理貯能元件的微分因果關系及建立系統動力學方程方面，在方法上還局限于手工處理。

目前，關于應用向量鍵合圖法進行肘桿式壓力機機構動力學建模與分析的文獻報道甚少，其研究工作有待于進一步深入。本文基于向量鍵合圖，推導出以系統獨立貯能場能量變量向量(包括獨立運動及非獨立運動的能量變量向量)為狀態變量的系統驅動力矩(驅動力)及運動副約束反力方程的統一公式，更便于復雜機構的計算機自動建模與動力學分析。根據運動約束條件，將平面運動構件、轉動鉸及移動鉸的向量鍵合圖模型組合起來，建立了三角形肘桿壓力機機構的向量鍵合圖模型。在此基礎上，實現了在脈沖負載作用下三角形肘桿壓力機機構的動力學自動建模與計算，通過對計算結果的分析與討論，揭示了該機構的動力學性能，驗證了所述方法的可靠性及有效性。

1 系統驅動力矩(驅動力)及運動副約束反力方程的統一公式

圖1為構成系統的基本場及結型結構,Xi1為系統獨立貯能場中對應獨立運動的能量變量向量，Zi1為相應的共能量變量向量，皆為m1維列向量；Xi2為系統獨立貯能場中對應非獨立運動的能量變量向量，Zi2為相應的共能量變量向量，皆為m2維列向量。其中，下標i1為系統獨立貯能場的獨立運動，下標i2為系統獨立貯能場的非獨立運動。Din、Dout分別為耗散場的輸入、輸出向量，皆為L維列向量。U1為驅動力矩(驅動力)向量，U2為運動副約束反力向量，U3為作用在系統上的已知源輸入，分別為m1、m2及m3維列向量。

獨立貯能場特性方程

圖1 系統基本場及結型結構

Zi1=Fi1Xi1

(1)

Zi2=Fi2Zi2

(2)

式中:Fi1、Fi2分別為m1×m1、m2×m2矩陣。

耗散場特性方程

Dout=RDin

(3)

式中：R為L×L矩陣。

由圖1得系統的結型結構方程

(4)

(5)

Din=JLi1Zi1+JLi2Zi2+JLLDout+JLu1U1+JLu2U2+JLu3U3

(6)

對應系統向量鍵合圖約束反力向量0-結的流和方程為

0=JCi1Zi1+JCi2Zi2+JCLDout+JCu3U3

(7)

式(4)～式(7)中的各系數矩陣J表示圖1中源場、獨立貯能場及耗散場的輸入、輸出向量與結型結構的關系，稱之為結型結構矩陣。

由式(1)～式(7)經代數處理得系統驅動力矩(驅動力)及運動副約束反力方程的統一公式如下

當JCL=0

(8)

式中：

B1=(I1-JLLR)-1JLi1Fi1，B2=(I1-JLLR)-1JLi2Fi2，B3=(I1-JLLR)-1JLu1

B4=(I1-JLLR)-1JLu2，B5=(I1-JLLR)-1JLu3，Ti1i1=Ji1i1Fi1+Ji1LRB1

Ti1i2=Ji1i2Fi2+Ji1LRB2，Ti1u1=Ji1LRB3+Ji1u1，Ti1u2=Ji1LRB4+Ji1u2

Ti1u3=Ji1LRB5+Ji1u3

當JCL≠0時

(9)

式中：

TCi1=JCi1Fi1+JCLRB1，TCi2=JCi2Fi2+JCLRB2

TCu1=JCLRB3，TCu2=JCLRB4

TCu3=JCLRB5+JCu3，Du1u1=Ti1u1+Ti1u2(-TCu2)-1TCu1

由所建立的系統向量鍵合圖模型，可以確定系統獨立貯能場特性方程、阻性場特性方程中的系數矩陣、結型結構矩陣及已知勢源向量。將上述矩陣及向量、系統獨立貯能場中對應獨立運動的能量變量向量Xi1及其導數、系統獨立貯能場中對應非獨立運動的能量變量向量Xi2代入到以上述算法為基礎所編制的MATLAB軟件中去，可以直接確定相應的系統驅動力矩(驅動力)向量及運動副約束反力向量，實現平面多體動力系統的計算機自動建模及動態靜力分析。

2 三角形肘桿壓力機機構向量鍵合圖模型

由單一平面運動構件各鉸接點速度矢量、質心速度矢量及角速度的幾何及運動關系，可以建立其向量鍵合圖模型，詳見文獻[11]。將曲柄AB、三角形肘桿BDE、構件CD、構件EF及滑塊的向量鍵合圖按照圖2所示機構構件間的運動約束(旋轉鉸、移動副)關系組合起來，可以建立三角形肘桿六桿壓力機機構的向量鍵合圖模型，如圖3所示。有關旋轉鉸、移動副向量鍵合圖模型的建立方法，詳見文獻[11]。

圖2 三角形肘桿六桿壓力機機構簡圖

圖3 三角形肘桿六桿壓力機機構向量鍵合圖

在建立三角形肘桿六桿壓力機機構向量鍵合圖模型的過程中，構件間的旋轉鉸、移動副約束使其向量鍵合圖模型的多數慣性元件I具有微分因果關系，這會使其向量鍵合圖模型產生較復雜的非線性結型結構。由文獻[4,9]知，系統的狀態變量向量是由具有積分因果關系的慣性元件I所對應的能量變量所組成，在建立系統驅動力矩(驅動力)及運動副約束反力的過程中，具有微分因果關系的慣性元件I所對應的能量變量需要用系統的狀態變量來表示。對于該類機構，這一過程復雜且不規則，實現機構動力學自動建模與動態靜力分析會遇到較大的代數困難。

為此，將各運動副約束反力向量Se12(旋轉鉸B)、Se13(旋轉鉸C)、Se14(旋轉鉸D)、Se15(旋轉鉸E)、Se16(旋轉鉸F)視作為未知勢源向量添加在該機構向量鍵合圖模型相應的0-結處。如此增廣后，可以完全消除微分因果關系，解決其給建立系統驅動力矩(驅動力)及運動副約束反力方程所帶來的較復雜的代數問題，直接應用本文所述方法進行機構的動力學自動建模與動態靜力分析。

3 實際算例

由本文所述方法知，與圖3所示系統向量鍵合圖相對應的系統獨立貯能場獨立運動的能量變量向量為

式中:p2為圖3中相應慣性元件的廣義動量。

系統獨立貯能場非獨立運動的能量變量向量

式中：pix、piy(i=3,6,7)為圖3中相應慣性元件的廣義動量向量在X軸及Y軸方向的投影，pi(i=4,5,8,9)分別為相應慣性元件的廣義動量。

相應的共能量變量向量

式中:fix、fiy(i=3,6,7)為圖3中相應慣性元件的流向量在X軸及Y軸方向的投影，fi(i=2,4,5,8,9)為圖3中相應慣性元件的流變量。

系統已知勢源向量

U3=[Se19xSe19ySe20xSe20ySe21xSe21ySe22Se17]T=[0 -mCDg0 -mBDEg0 -mEFg-mkgFr]T

式中:Seix、Seiy(i=19,20,21)分別為圖3中相應勢源向量在X軸及Y軸方向的投影，Sei(i=17，22)為圖3中相應的勢源。

系統未知勢源向量

U2=[Se12xSe12ySe13xSe13ySe14xSe14ySe15xSe15ySe16xSe16y]T=[FBxFByFCxFCyFDxFDyFExFEyFFxFFy]T

式中:Seix、Seiy(i=12～16)分別為圖3中相應勢源向量在X軸及Y軸方向的投影，FBx、FBy、FCx、FCy、FDx、FDy、FEx、FEy、FFx、FFy分別為運動副B、C、D、E、F約束反力向量在x軸及y軸方向的投影。該例忽略了阻尼，耗散場輸入、輸出向量Din、Dout均為零向量。

將機構的物理參數、獨立貯能場及耗散場輸入、輸出向量的關系矩陣、結型結構矩陣、已知勢源向量U3、對應機構獨立運動的能量向量變量Xi1及其導數、對應機構非獨立運動的能量向量變量Xi2代入到以本文所述算法為基礎所編制的軟件中去，可以自動建立該機構驅動力矩及運動副約束反力方程，確定機構不同運動狀態所對應的驅動力矩及運動副約束反力，部分結果曲線如圖4～圖7。

對機構各構件進行受力分析，建立其牛頓方程，進行力矩分析，建立其歐拉方程。將其進一步聯立，可以建立機構整體的牛頓-歐拉動力學方程。由此可以進一步推導出該機構的驅動力矩及運動副約束反力方程，計算出對應機構不同運動狀態的驅動力矩及運動副約束反力合力，部分結果如表1所示。表1所列的計算結果與用本文方法所得結果完全一致。在圖4～圖7中，用涂黑的圓點為表1所列各點的坐標位置，更加直觀地表達了這一點。

圖4 曲柄AB驅動力矩曲線

圖5 鉸接點B約束反力合力曲線

圖6 鉸接點C約束反力合力曲線

圖7 鉸接點F約束反力合力曲線

該驗證工作手工處理量較大，過程比較繁瑣，這也進一步體現了本文所述方法的優勢。

圖4描述了曲柄角位移在0°～360°范圍內驅動矩的變化情況。沒有工作阻力時，曲柄角位移在0°～1°、60°～138°、140°～284°、341°～360°范圍內，驅動力矩呈遞增狀態。曲柄角位移在1°～60°、284°～341°范圍內，驅動力矩呈遞減狀態。當q1=284°時，驅動力矩達到最大值，最大值為51.930 2 N·m。當q1=60°時，驅動力矩達到最小值(反向最大值)，最小值(反向最大值)為-59.713 8 N·m。在上述曲柄角位移范圍內，驅動力矩變化曲線比較光滑。當曲柄角位移q1=139°時，滑塊距下死點3 mm，受到脈沖形式的沖壓力，驅動力矩產生突變，幅值急劇減少到9.278 6 N·m。

圖5～圖7描述了曲柄角位移在0°～360°范圍內鉸接點B、C、F約束反力合力的變化情況。沒有工作阻力時，各鉸接點約束反力合力曲線均比較光滑。當曲柄角位移q1=139°時，滑塊受到脈沖形式的沖壓力，鉸接點B、C、F約束反力合力均產生突變，分別急劇增加到1 045.738 1 N 、8 022.684 7 N、7 866.673 9 N。

表1 牛頓-歐拉動力學方法計算的部分結果

從上述分析中可以看出，周期性脈沖形式的工作阻力，使該機構驅動力矩的幅值產生周期性突變。在一個運動周期內，急劇減少45.544 2%。這會使驅動電機電樞線圈的電流強度產生周期性急劇變化，對其工作的穩定性會帶來一定的不利影響，降低其使用壽命。同時，也直接影響到機構的可控性。另外，周期性脈沖形式的工作阻力，使鉸接點B、C、F約束反力合力均產生不同程度的周期性突變。在一個運動周期內，分別急劇增加352.727 2%、1 023.424 3%、4 753.029 7%。其中，鉸接點F約束反力合力的增長率尤為突出，這是由于沖擊載荷直接作用在滑塊(刀具)上所致。這一方面會加劇機構運動副的磨損，增大運動副的間隙，降低機構的運動精度，給機構運行帶來較嚴重的振動、沖擊及噪聲。另一方面，也會降低機構相應構件的強度，減少機構的使用壽命。

4 結 論

(1) 所推導的系統驅動力矩及運動副約束反力方程的統一公式，直接以系統獨立貯能場能量變量向量(包括獨立運動及非獨立運動的能量變量向量)為狀態變量向量，具有規則化的特點，無須機構的加速度分析及計算，便于復雜平面連桿機構的動力學自動建模與動態靜力分析。

(2) 基于一般平面運動構件、旋轉鉸及移動副的向量鍵合圖，建立了三角形肘桿六桿壓力機機構的向量鍵合圖模型，表達方式簡明，力學概念直觀。所采用的增廣方法，可以完全消除機構向量鍵合圖模型的微分因果關系，為實現機構自動建模與動態靜力分析奠定了必要的基礎。

(3) 在上述工作的基礎上，實現了三角形肘桿六桿壓力機機構的動力學自動建模與分析，一定程度上提高了該類工作的計算效率及可靠性。通過具體算例，分析了三角形肘桿六桿壓力機機構的動力學特性，揭示了脈沖形式的工作阻力對于驅動力矩及運動副約束反力的影響，對于該類壓力機連桿機構的研究及設計具有一定的價值。

(4) 本文工作既是對用于壓力機的平面連桿機構動力學建模與分析方法研究的有益補充，也是對向量鍵合圖理論及應用必要的擴展。