粗糙接觸面旋轉鉸間隙碰撞動力學建模與仿真

郭嘉楠， 何 鵬， 劉占生， 黃洪雁

(哈爾濱工業大學 能源學院動力機械振動與噪聲控制技術研究所， 哈爾濱 150000)

旋轉鉸接在航空航天、機械制造等領域中有廣泛應用。由于加工精度、裝配公差以及磨損等因素，導致機構中旋轉鉸的運動副間隙無法避免。運動副間隙會降低機構的精度，同時由間隙引起的沖擊載荷會導致機構呈現非線性振動特征，影響機構的可靠性。隨著現代工業對機構運動精度要求的提高，含間隙的機構動力學已經成為精密機械以及航空航天領域里的亟待解決的問題之一。

對于間隙機構動力學的研究，國內外學者在機構動力學分析方面做了大量工作[1-5]，并取得了顯著的成果。閻紹澤等[6]歸納整理了國內外關于含有間隙的運動副和機構的動力學研究成果，著重分析了目前各種間隙接觸碰撞模型的適用范圍，討論了三維間隙的接觸形式，并針對旋轉副間由間隙導致的潤滑和磨損問題進行了總結，對含間隙的機械系統動力學研究存在的問題進行了展望。非線性碰撞力建模的準確性對間隙機構動力學研究是至關重要的。碰撞速度、材料屬性和接觸面形貌等因素都會對非線性碰撞力模型產生較大影響。Greenwood等[7]提出了粗糙表面的統計學接觸力模型(G-W接觸模型)，將宏觀的接觸面問題轉化為單個微凸體的接觸。Kadin等[8]通過引入能量耗散因素改進了塑性指數，相比于傳統的G-W塑性指數，改進的模型能夠考慮塑性變形帶來的能量耗散，使得接觸力模型更加準確。傳統的G-W接觸模型假設接觸面分別一個為粗糙表面一個為剛性平面，Jackson等[9]根據有限元計算結果建立了兩個粗糙表面彈塑性接觸的統計學模型，更接近實際情況。Jin等[10]將JKR黏性力模型與G-W粗糙面接觸模型結合建立一種新型接觸模型，研究發現小的黏連參數會導致大的能量耗散，拓展了G-W接觸模型的研究范圍。趙廣等[11]改進了基于G-W模型的接觸力模型，能夠考慮圓柱接觸面形貌對接觸力帶來的影響，并進行了接觸剛度試驗。粗糙表面接觸普遍適用于平面接觸，對于真實粗糙圓柱面接觸問題中存在的接觸總面積發生變化、粗糙表面微凸體高度隨圓柱面形貌發生變化的問題研究不多。為建立更加準確的碰撞模型，需要考慮碰撞過程中的能量損失。Hunt等[12]以經典的K-V接觸力模型為基礎，首先建立了考慮阻尼項的碰撞模型，改進了間隙的接觸碰撞力模型。Lankarani等[13]在傳統的赫茲接觸理論上考慮了碰撞過程中產生的能量耗散，建立了新的接觸力模型(L-N接觸模型)。白爭鋒等[14]建立了一種改進的連續碰撞力模型，該模型的適用范圍由大間隙碰撞拓展到小間隙碰撞，并將嵌入到商業多體動力學軟件中進行了仿真。Flores等[15]通過在單自由度系統中推導得到的新阻尼系數，建立了軟質材料的連續接觸力學模型。粗糙度的存在會改變碰撞的接觸面積，從而影響碰撞接觸力。以往針對間隙機構的動力學研究中，很少有考慮粗糙度對碰撞力模型影響的。

本文以帶間隙的旋轉鉸為對象，考慮接觸表面形貌及能量耗散因素，結合L-N碰撞力模型和G-W接觸模型，提出了一種改進的粗糙圓柱面碰撞接觸力模型。分析了碰撞速度、恢復系數以及粗糙度等因素對碰撞的影響規律。將所建立的旋轉鉸連接副的接觸碰撞力模型引入曲柄滑塊機構的動力學模型中，分析運動副間隙對曲柄滑塊機構動力學特性帶來的影響。本研究為含間隙運動副的動力學研究提供更精細的碰撞接觸力模型，為機構運動的精確預測及控制提供理論依據。

1 旋轉鉸運動副接觸碰撞力模型

旋轉鉸是最常見的一種運動副形式，當旋轉鉸存在間隙時，機構在運動過程中會發生碰撞，為得到更準確的機構動力學特性，需要建立完善的間隙碰撞力模型，能夠考慮能量耗散、表面粗糙度以及接觸面形貌對碰撞力帶來的影響。

1.1 L-N非線性彈簧阻尼碰撞力模型

Lankarani-Nikravesh非線性彈簧阻尼碰撞力模型(L-N模型)以赫茲接觸理論為基礎，引入了含有恢復系數的非線性阻尼，能夠考慮碰撞過程中產生的能量耗散，該碰撞力模型的表達式

(1)

根據Hertz接觸理論[16]，得到接觸剛度K的表達式為

(2)

式中:E1和E2分別為兩接觸物體的彈性模量;v1和v2分別為兩接觸物體的泊松比;R1和R2分別為兩接觸物體的接觸半徑。

碰撞力模型中，阻尼D系數的表達式為

(3)

L-N接觸碰撞力模型公式為

(4)

L-N接觸碰撞力模型能夠描述碰撞過程中的非線性阻尼力和能量損失，但缺少表面粗糙度對接觸影響的考慮，所以僅采用該模型難以對旋轉鉸內的運動接觸問題進行全面描述。

1.2 粗糙平面接觸力模型

Greenwood-Williamson模型(G-W模型)普遍用于分析粗糙平面與剛性理想平面的接觸問題。G-W接觸模型有兩條假設條件：① 接觸面有數量較大的微凸體，且微凸體高度是服從正態分布的；② 所有微凸體的頂部為半徑相等的球形。

當粗糙平面與剛性理想平面之間的距離為d時，粗糙平面上高度大于d的微凸體都會與剛性理想平面發生接觸，則任意一個微凸體發生接觸的概率為

(5)

(6)

式中:φ(z)為正態分布函數;z為微凸體高度;σ為接觸面上微凸體分布的均方根。

根據赫茲接觸公式可以得到單個微凸體的接觸面積和接觸作用力分別為

A1=πβ(z-d)

(7)

(8)

式中:β為微凸體頂部球形半徑。

假設粗糙平面上存在的微凸體總數目為N，則微凸體高度大于d的發生接觸的微凸體數目為

(9)

整個平面的接觸總面積和總載荷為

(10)

(11)

G-W模型能夠分析接觸面粗糙度對接觸的影響，但所建立的模型對接觸面形貌以及碰撞過程中的能量損失的考量不足。

1.3 改進的粗糙表面接觸碰撞力模型

含間隙的粗糙旋轉鉸模型示意圖,如圖 1所示。O1，O2分別為軸和軸套的圓心，R1和R2分別為軸和軸套的半徑，其中微凸體高度為h，間隙大小為c=R1-R2，其中偏心為e。

圖1 含間隙的粗糙旋轉鉸示意圖

由圖 1所示的幾何關系，在ΔO1O2C中，根據余弦定理公式可以得到

(R1+c)2+e2-2e(R1+c)cosθ=(R1+h)2

(12)

微凸體高度為

(13)

由于實際的關節間隙較小，軸與軸套半徑都要遠遠大于間隙值c，因此可以對上式進行簡化得到

h=c+ecosθ

(14)

對于整個粗糙圓柱面上微凸體數目n的表達式為

(15)

式中,η為微凸體分布密度。

因此整個粗糙圓柱面的接觸作用力為

(16)

綜合研究G-W粗糙表面接觸力和L-N碰撞力模型，并考慮了圓柱接觸面形貌對碰撞力帶來的影響，得到改進的粗糙圓柱面碰撞力模型

(17)

圖2 本文模型與經典碰撞模型對比

圖2為本文建立的碰撞接觸力模型與經典碰撞接觸力L-N模型的對比，從圖 2可知，兩種碰撞力模型仿真結果相近。L-N碰撞力模型可認為接觸面是光滑的，本文計算模型接觸面是粗糙的，粗糙度會導致實際的接觸面積低于光滑平面的接觸面積，因此本文仿真得到的碰撞力要小于L-N模型的碰撞力。本文模型碰撞持續的時間要比L-N模型碰撞持續的時間長，這是由于粗糙表面存在微凸體，光滑無微凸體接觸面在碰撞結束時，粗糙有微凸體接觸面上的微凸體尚未與另一接觸面完全分離，因此本文模型碰撞持續時間要長于L-N模型碰撞時間。

1.4 運動副力學建模

間隙摩擦力模型使用庫倫摩擦力模型

Fτ=μFn

(18)

帶有間隙的運動副所承受的力學模型為

(19)

2 碰撞接觸力動力學特性仿真

根據所建立的粗糙圓柱面接觸碰撞力模型進行仿真分析，含有間隙旋轉鉸的計算參數[17]如表1所示。

表1 關節碰撞力仿真參數

圖3所示為不同碰撞速度下的碰撞變形隨時間變化的曲線。從圖3可知，碰撞速度越大，發生的變形越大，碰撞持續的時間越短。

圖3 碰撞力隨碰撞速度變化曲線

圖4所示為不同碰撞速度下的碰撞力隨時間的變化曲線。從圖4可知，隨著碰撞速度的增加碰撞力在增大，而且增大的趨勢十分明顯。在碰撞過程中可以看出，碰撞速度越大，接觸力隨時間變化越快，持續的時間也越短。這是由于當碰撞速度較小時，碰撞進程發展緩慢，發生接觸的微凸體數量較少，導致碰撞力增大速度較慢。

圖4 碰撞力隨碰撞速度變化曲線

圖5所示為不同恢復系數下運動副碰撞變形隨時間變化的曲線。從圖5可知，恢復系數對碰撞變形影響并不明顯，對碰撞持續時間的影響也較小。

圖5 碰撞變形隨恢復系數變化曲線

圖6所示為不同恢復系數下的碰撞力隨時間的變化曲線。從圖6可知，恢復系數越大，碰撞力越大，恢復系數對碰撞力的影響較大。

圖6 撞力隨恢復系數變化曲線

粗糙接觸面仿真計算中接觸面的微凸體分布均方根與接觸面粗糙度是相關的，其關系表達式為[18]

(20)

式中:σ為微凸體分布均方根；Ra為接觸表面粗糙度。

圖7所示為不同微凸體粗糙的運動副變形隨時間的變化曲線。從圖7可知，粗糙度越大，碰撞變形越小，碰撞持續的時間也越短。

從圖8可知，隨著粗糙度增大，碰撞力在減小。粗糙度越大，關節間明顯的碰撞效果出現越早，變化速度相對較慢，粗糙度對碰撞力的影響比較大。

因此碰撞力隨粗糙度增大而減小的原因是，微凸體粗糙度越大，接觸表面越粗糙，而發生碰撞的實際接觸面積越小。仿真結果也證明了圖 2所對比的兩種接觸碰撞模型的結論。

圖7 碰撞變形隨粗糙度變化曲線

圖8 碰撞力隨粗糙度變化曲線

3 含間隙的曲柄滑塊機構動力學建模

3.1 曲柄滑塊機構運動學建模

含間隙的曲柄滑塊機構示意圖，如圖9所示。機構中曲柄長度為l1；質量為m1；連桿長度為l2；質量為m2；間隙大小為ξ；位置在連桿與滑塊的鉸連接處，θ1為曲柄與水平方向夾角；θ2為連桿與水平方向夾角；γ為連桿末端和滑塊軸套圓心連線與水平方向夾角。表

圖9 含間隙曲柄滑塊機構示意圖

2為曲柄滑塊機構動力學仿真參數。

表2 曲柄滑塊機構動力學仿真參數

根據圖 9所示的含間隙曲柄滑塊機構的幾何關系，建立含間隙的曲柄滑塊的運動學模型。

l1cosθ1+ξcosγ+l2cosθ2=xB

(21)

l1sinθ1-ξsinγ-l2sinθ2=0

(22)

滑塊在x方向運動的方程為

(23)

(24)

3.2 曲柄滑塊機構動力學建模

針對圖9所示的含有間隙的曲柄滑塊機構，建立曲柄滑塊機構各個部件的動力學方程。

對于曲柄，假設其從0°開始做勻速運動，其動力學方程為

(25)

對于連桿

(26)

(27)

(28)

對于滑塊

(29)

聯立式(24)～式(29)可得機構的微分方程組。

電機輸入的扭矩方程

(30)

式中：FMx為連桿所受的力沿x方向分量；FMy為連桿所受的力沿y方向分量；FBx為滑塊在x方向受力；mB為滑塊質量；xB為滑塊在水平方向位移；FBy為滑塊在豎直方向受力；mS1為曲柄質量；l1為曲柄長度；J1為曲柄轉動慣量；θ1為曲柄轉動角度；l2為連桿長度；mS2為連桿質量；J2為連桿轉動慣量；xS2為連桿質心在水平方向位移；yS2為連桿質心在豎直方向位移；θ2為連桿轉動角度。

根據上述關系式，可以得到間隙的方向角與所承受的力的關系為

(31)

(32)

(33)

4 含間隙曲柄滑塊機構動態特性仿真

圖10所示為含有間隙運動副在運動過程中發生接觸的判定流程圖。

圖10 機構接觸碰撞計算流程圖

具體分析如下：

在含有間隙的旋轉鉸中，銷軸A受到電機力發生運動，軸承B保持勻速運動(初始時靜止)，其中xA為銷軸運動的位移，xB為軸承B運動位移，VA1-和VB1-分別為A和B第一次碰撞前的速度，VA1+和VB1+分別為A和B第一次碰撞后的速度，VA2-和VB2-分別為A和B第二次碰撞前的速度，FM為電機輸入力，Fn為碰撞力。當A和B的運動距離之和大于間隙值時就會發生碰撞，若VA1·VB1>0，那么A與B發生正面碰撞，即碰撞位置在B的前側；若VA1·VB1<0，那么A與B發生反面碰撞，即碰撞位置在B的后側。碰撞后軸承B以速度VB2保持勻速運動，碰撞后A的初速度為VA2，同時A繼續受電機力做加速運動。判斷B的運動位移與A的運動位移之差，若位移之差等于間隙值，那么A與B就會再次發生碰撞。

圖11為本文仿真結果與文獻[19]仿真與試驗結果的對比圖。試驗與仿真方案中曲柄以200 r/min的恒定轉速旋轉，機構之間的間隙大小為0.5 mm。從圖11可知，本文的仿真結果與文獻[19]仿真結果有較好的吻合，可以準確描述間隙對曲柄滑塊機構動態特性的影響，驗證了本文所建立的碰撞模型和曲柄滑塊機構動力學模型的準確性。

(a)

(b)

從圖12(a)和圖12(b)可知，無間隙機構滑塊的受力趨勢與有間隙滑塊的受力趨勢相同，但有間隙的滑塊承受的碰撞力峰值要比正常運動受力高。對比圖12(b)～圖12(d)可知，在運動過程中由于間隙的存在，運動副內會反復的發生碰撞。間隙大小對關節碰撞力影響較大，滑塊所承受的碰撞力隨著間隙的增大在不斷增加。同時從受力曲線中也可以看出關節間隙越小，發生碰撞越頻繁，會影響對機構位置的控制。因此可以看出間隙對機構動力學的影響較為復雜，間隙的大小會對機構控制的準確性以及機構的穩定性產生影響。

圖13所示為不同粗糙度對滑塊的受力的影響，從圖13可知，隨著粗糙度的增大，滑塊所受的接觸力峰值是減小的，粗糙度對于機構的運動過程中產生的碰撞影響比較明顯。

(a) 無間隙

(b) 0.1 mm間隙

(c) 0.2 mm間隙

(d) 0.4 mm間隙

圖12 不同間隙下滑塊在x方向受力曲線要加對比圖

Fig.12 Horizallenontal component of slider force with different clearances

圖13 不同粗糙度機構滑塊受力時間歷程圖

5 結 論

在機構的運動過程中，間隙會導致機構運動偏差，影響機構的運動精度。為研究間隙對機構動力學帶來的影響，本文建立了一種針對粗糙圓柱表面的非線性碰撞接觸力模型。采用庫倫摩擦模型描述機構關節之間的摩擦作用，將碰撞力模型和摩擦力模型結合，引入所建立的含有間隙的曲柄滑塊機構機構動力學模型，并進行動力學仿真，得到如下結論：

(1) 通過仿真對比L-N碰撞力模型和本文碰撞力模型，由于真實接觸面是粗糙的，會導致接觸面積要低于光滑表面的理想接觸面積，因此本文模型的碰撞力要小于L-N模型的碰撞力；同時由于粗糙接觸面存在微凸體，光滑表面不存在微凸體，當光滑無微凸體接觸面碰撞結束時，粗糙接觸面上的微凸體尚未與另一接觸面完全分離，導致粗糙表面的接觸時間要長于光滑表面的接觸時間，因此本文碰撞力模型的碰撞時間比L-N碰撞力模型要長。

(2) 針對一般的旋轉鉸連接機構，部件間的相對碰撞速度對機構關節中碰撞力具有明顯的影響，碰撞速度越大關節碰撞持續的時間越短，同時也會產生更大的碰撞力，說明大的碰撞速度會對控制機構的反應速度有更高的要求，也容易造成機構的失穩。

(3) 碰撞體之間的恢復系數也會對機構關節中的碰撞力產生影響，恢復系數越大關節間的碰撞接觸力越大，相比于碰撞速度，恢復系數對機構碰撞的影響并不明顯，說明機構材料屬性對碰撞的效果影響相對較小。

(4) 兩碰撞體之間接觸面上微凸體粗糙度會對機構關節中的碰撞力產生較大影響，通過仿真分析可以看出粗糙度越大，機構關節之間的碰撞力越小，碰撞持續的時間也越短，仿真結果表明粗糙的接觸面會產生較小的碰撞力。

(5) 機構間隙對曲柄滑塊機構的影響較為復雜，較小的間隙雖然產生的碰撞力也相對較小，但會導致在關節中發生碰撞的頻率較高，不利于機構的控制。

本文提出的含粗糙圓柱面鉸間隙的接觸碰撞力模型能夠在已有的理想接觸面間隙碰撞模型基礎上，較為全面地描述接觸面粗糙度以及圓柱曲面形貌對機構動力學特性的影響，完善了間隙機構動力學模型，為機構系統動力學行為精確預測及控制提供了更完備的建模方法，有利于工程實際應用。