含概率不確定性的復合材料吸能結構優化設計方法研究

馮振宇， 蘇 璇， 趙彥強， 解 江， 牟浩蕾

(民航航空器適航審定技術重點實驗室， 天津 300300)

復合材料結構吸能研究始于20世紀80年代，由于復合材料具有較高的比強度和比剛度，(復合材料從最初僅用于非承力結構，到如今在飛機主承力結構上大量使用，能夠帶來較大幅度的結構減重，并且極大提高了結構的耐撞性。近年來，復合材料在飛機結構中的應用比例越來越大，但由于其損傷、破壞和失效模式與金屬結構顯著不同，導致飛機結構的抗墜撞性能隨著復合材料結構成為主承力結構或出現在主傳力路徑上而發生明顯改變[1-2]。目前，控制復合材料結構壓潰行為和能量吸收的基本機理仍然是技術挑戰，復合材料結構在飛機墜撞過程中的吸能特性及其吸能設計近年來也因此受到了國內外工程、學術界的廣泛關注[3-4]。

薄壁結構具有剛度大、穩定性好和吸能效率高的特點，無論是金屬或者復合材料，都是一種典型的吸能結構形式。然而復合材料的力學性能與金屬材料相比分散性更大，成型工藝也更復雜，實際工程中由于加工精度的限制和材料性能的分散性導致復合材料薄壁結構的幾何尺寸和物理性能具有不可忽視的不確定性。這些參數的微小變化都會改變結構的力學響應特性和失效破壞模式，從而影響其吸能特性。

如果復合材料薄壁結構設計者在進行設計時不考慮參數的不確定性，可能導致所設計結構在壓潰時的吸能特性存在較大的分散性[5]，因此在工程中不得不通過大量實驗來確定復合材料薄壁結構破壞吸能的力學行為。但是，通過試驗的方法研究復合材料薄壁結構具有設計周期長、費用高、可重復性差等缺點。隨著商業軟件的發展與成熟，采用數值仿真與少量試驗相結合的方法成為研究復合材料飛機結構的有效途徑。研究者通常根據試驗所觀察的結果來建立簡化的有限元模型來模擬復合材料的宏觀及細觀破壞過程[6-8]。這類研究通常以幾何/材料參數的名義值或平均值建立確定性模型作為研究對象進行分析，忽略參數的分散性，導致計算分析結果與實驗值往往存在較大差異。從某種程度上講，用常規的確定性方法很難評估和分析這種不確定性來源多、分散度大的復合材料結構非線性力學問題。

綜上，在進行復合材料薄壁結構吸能特性分析時引入不確定性理論，建立考慮參數不確定性的復合材料薄壁吸能結構優化設計方法非常具有工程意義。為此本文將識別不確定性來源，主要從試驗件的特征尺寸出發，識別影響顯著的不確定性參數，基于含確定參數的壓潰分析的數值模型，以期能夠在設計階段就考慮參數的不確定性，設計出吸能特性最優的結構。

1 復合材料薄壁結構不確定參數的來源

由于加工工藝的限制，同一批具有相同結構的復合材料試驗件的特征尺寸仍會存在分散性，但是特征尺寸值仍分布在可控的公差帶內。可以根據《未注尺寸公差極限偏差:HB5800—1999》中對公差要求確定特征尺寸的分布特征。特征尺寸是區間變量，其真值落于區間內的任意點的概率是相同的，故利用Monte-Carlo方法進行數值仿真時可以假設試驗件的特征尺寸在區間內呈均勻分布[9]。

2 含不確定參數復合材料薄壁結構吸能特性評估方法

2.1 中心組合試驗設計

為建立含不確定參數薄壁結構吸能特性評估模型,需要具備關于結構吸能特性指標與不確定性參數之間的函數關系。但由于復合材料薄壁結構的軸向壓潰吸能機理復雜，無法通過理論推導確定函數關系表達式，但可以根據數值計算結果，擬合函數方程。本文采用響應面法，擬合具有不確定性的結構參數與吸能特性指標間函數關系。

為以較少的計算量以及較低的試驗驗成本得到滿足精度的響應面方程，需根據參數區間，通過試驗設計方法來選擇樣本點。中心組合試驗設計是響應面法研究中常用的實驗設計方法，其試驗點分布如圖1所示。對n(n≥2)個因素的中心組合試驗設計需要進行的實驗總數為N=2n+2n+nc。試驗由三個部分組成：2n個立方體頂點處的驗、2n個軸點處的試驗及nc次中心點重復試驗。通過中心點處的重復試驗可以提高擬合方程的精度[10-11]。中心點處重復試驗次數與考察因素的關系，如表1所示。

圖1 中心組合設計試驗點分布圖

參數編號中心點數量試驗次數251336204630584261086710152

2.2 確定響應面方程

在確定響應面方程時需要折中考慮精度要求和計算成本。本文采用二次多項式來擬合響應面方程，并利用最小二乘原理確定多項式系數，得到響應和參數變量之間的函數關系，建立完全二階響應面方程

(1)

由中心組合試驗設計確定的m個樣本點組成設計變量矩陣X，通過確定性分析方法計算樣本點的吸能特性向量Y；計算值與響應面擬合值的誤差組成的向量為ε，各矩陣向量之間的關系

(2)

ε=Y-Xc

(3)

式中

待定多項式系數向量c用最小二乘法擬合求解

(4)

(5)

式中:SSE為誤差平方和。系數向量c的估計為

c=(XTX)-1XTY

(6)

得到響應面方程后，為檢驗響應面擬合程度需進行R2檢驗。

(7)

3 復合材料薄壁結構吸能特性優化流程

圖2給出了考慮參數的不確定性時的復合材料薄壁結構吸能特性優化流程。首先根據使用條件確定設計參數的分布區間；隨后，利用中心組合試驗設計確定設計參數的試驗矩陣；之后確定試驗矩陣中每種設計參數組合在考慮復合材料薄壁結構材料性能和特征尺寸的不確定性時吸能特性的分布情況，確定各吸能特性的平均值和標準差[12]；然后，根據各設計參數組合吸能特性的平均值和標準差，分別確定復合材料薄壁結構設計參數與吸能特性的均值及標準差之間的響應面方程；最后，結合響應面方程和設計要求確定優化的數學表達，采用序列二次規劃算法進行優化求解。論文最后一步是使用優化過程得到的壁厚h和內徑D值建立相關的有限元仿真模型，在優化目標值條件下通過有限元仿真計算得到能量吸收的特征參數。將該結果與響應面預測值進行對比，最終確定優化結果的正確性和精度。

圖2 考慮參數不確定性復合材料薄壁結構吸能特性優化流程

4 算例研究

4.1 建立基準有限元分析模型

為驗證有限元模型的有效性，本文采用高100 mm，內徑50 mm，壁厚1.5 mm的復合材料薄壁圓管進行了準靜態軸向壓潰吸能試驗。圓管由12層碳纖維增強環氧樹脂層合而成，薄壁圓管的鋪層方式為[+45°/-45°/0°/0°/90°/0°]s，頂端外側設有45°倒角，其中牌號為T700的碳纖維體積分數為64.3%，環氧樹脂的牌號為3234。

在中航工業北京航空材料研究院對T700/3234復合材料性能進行測試，按《纖維增強塑料拉伸性能實驗方法:GBT1447—2005》、《纖維增強塑料壓縮性能實驗方法:GTB1448—2005》及《纖維增強塑料層間剪切強度實驗方法:GTB1450.1—2005》進行，統計測試結果見表2。特征尺寸分布取公差范圍內均勻分布，公差大小按《未注尺寸公差極限偏差:HB5800—1999》確定。

T700/3234預浸料熱壓成型的復合材料薄壁圓管的制作經歷了鋪疊、吸膠、固化和脫模等過程。首先在不銹鋼(0Cr18Ni9)芯軸上鋪覆一層帶膠聚四氟乙烯布，以便脫模。再將單向預浸帶按設計的鋪設角度逐層鋪疊其上形成鋪層毛坯，各鋪層的對接縫相互錯開。在鋪層毛坯表面裹上一層作為吸膠材料的可剝布和薄玻璃布，然后將上述組合件放入聚四氟乙烯、透氣氈和真空袋組成的袋子里用橡膠膩子密封。接下來對上述組件進行吸膠及固化過程。固化過程開始前將上述組件袋子放入熱壓罐中繼續對其進行加溫加壓。固化過程如下：抽真空，加壓-0.1 MPa，升溫到120 °C，保溫10 min；加壓0.5 MPa，升溫到185 °C，保溫2 h；升溫到200 °C，保溫3 h；降溫至70 °C以下。升溫和降溫的速率小于2 °C/min。將固化出罐的毛坯制件在冷庫放置3 h后拿出，用木錘輕輕敲打，旋轉出模。

準靜態軸向壓潰試驗在中航工業北京航空材料研究院進行，采用英斯特朗微機控制電子式萬能試驗機在室溫下對試件均勻加載，加載速率為5 mm/min。圓管壓潰前及壓潰后破壞模式,如圖3所示。

圖3 試驗前后對比

基于LS-DYNA使用Belytschko-Tsay殼單元建立了上述圓管的單層等效有限元模型。模型中單元特征長度為2 mm，復合材料圓管選取MAT 54材料模型，具體材料參數見表2。圓管上方壓板采用20號剛體材料，圓管底端節點固定約束，頂端為自由端。如圖4所示，有限元模型共有4 378個殼單元，4 497個節點。研究表明，使用LS-DYNA進行薄壁圓管壓潰仿真時，由于MAT54的材料參數中沒有與應變率有關的參數，不同加載速度下的“載荷-位移”曲線基本相同，并與準靜態試驗結果吻合[13]。圖5展示了使用基準值建立的復合材料薄壁圓管軸向壓潰試驗有限元模型漸進壓潰的過程。在復合材料圓管軸向壓潰過程中，單元逐層失效，未失效的變形單元呈現出向內或向外彎曲折疊的形貌以及纖維基體斷裂的形貌，直到達到失效準則后單元立即被刪除。圖6給出了仿真與試驗所得“載荷-位移”曲線的對比圖。表3給出了仿真與試驗所得吸能數據的對比。從圖6和表3中可知仿真所得曲線和試驗曲線較吻合，峰值載荷誤差10.91%，比吸能誤差3.82%，誤差均在可接受范圍之內。

在復合材料薄壁圓管單層殼單元模型中，復合材料的纖維鋪層通過MAT54號材料的設計被附在了單層殼單元中。當某個單元中部分纖維鋪層達到失效條件時會出現單元的剛度折減，當單元中所有的復合材料纖維鋪層均達到失效條件時，即會發生單元刪除的現象。因此該仿真方法可以得到復合材料圓管漸進失效的現象和纖維基體斷裂的失效形貌，卻無法得到復合材料層合板的基體開裂、層間開裂等形貌。實際上，這些未可視化的失效行為導致的材料剛度折減已經被失效準則算入其中。仿真結果中用于描述試驗件吸能特性的參數，例如比吸能、峰值載荷等，均能夠與物理試驗結果相對應，誤差也在可接受范圍之內。因此，本文使用該模型研究復合材料不確定性參數對吸能特性指標的影響是合理的。

圖4 復合材料薄壁圓管有限元模型

參數數值參數數值ρ/(g·mm-3)1.53YC184Ex/GPa126SC/MPa98.8Ey/GPa8.71BETA0.0Gxy/GPa3.60FBRT1.0νab0.011YCFAC1.5Xt/MPa2571TFAIL0.4XC/MPa1060SOFT0.6Yt/MPa41.8EFS0.7

4.2 考慮參數不確定性優化設計時的試驗矩陣

本節對上節建模中所用的復合材料圓管進行優化設計，根據使用使用要求圓管壁厚h在1～3 mm，圓管直徑D在40～60 mm。據此進行中心組合試驗設計得到試驗矩陣見表4中第1，第2，第3列。對于試驗矩陣的每一行考慮參數不確定性的吸能特性分析，使用中心組合試驗設計分別確定每一行參數的試驗矩陣，最終確定每種特征尺寸復合材料圓管對應的比吸能和峰值載荷的平均值以及標準差，計算結果見表4。

圖5 基準值有限元單層殼模型漸進壓潰過程

圖6 仿真與試驗載荷-位移曲線

峰值載荷/kN峰值誤差/%比吸能/(J·g-1)比吸能誤差/%試驗26.67—74.86—仿真29.5810.9177.413.82

分別以表4中的比吸能均值、比吸能標準差、峰值載荷均值以及峰值載荷標準差為響應確定響應與特征尺寸間的響應面方程。

SEAmean=1 616+81.25h-99.36D-

14.85h2-3.443hD+2.019D2+

0.399 9h2D+0.082 93hD2-0.013 66D3-

0.008 21h2D2-0.000 352 3hD3

(8)

式(8)為比吸能均值SEAmean與圓管壁厚h和圓管直徑D之間的二階響應面方程。對方程進行R2檢驗，R2等于1，擬合度滿足要求。響應面圖如圖7所示。

表4 考慮參數不確定性優化時的實驗矩陣

圖7 比吸能均值的響應面圖

FZmean=-96.36+12.04h+3.339D+0.434hD-

0.032 65D2

(9)

式(9)為峰值載荷均值FZmean與圓管壁厚h和圓管直徑D之間的二階響應面方程，對方程進行R2檢驗，R2=0.953 4，擬合度滿足要求。響應面圖見圖8。

圖8 峰值載荷均值的響應面圖

σSEA=-4.445+8.363h-0.0193 5D-2.291h2+

0.041 27hD

(10)

式(10)為比吸能標準差σSEA與圓管壁厚h和圓管直徑D之間的二階響應面方程，對方程進行R2檢驗，R2等于0.994，擬合度滿足要求。響應面圖見圖9。

圖9 比吸能標準差的響應面圖

σFZ=-11.75-2.334h+0.524D+0.416 7h2+

0.102 7hD-0.006 083D2

(11)

式(11)為峰值載荷標準差σFZ與圓管壁厚h和圓管直徑D之間的二階響應面方程，對方程進行R2檢驗，R2=0.965 8，擬合度滿足要求。響應面圖如圖10所示。

圖10 峰值載荷標準差的響應面圖

5 不確定性優化數學表達式的確定

本文針對上述復合材料薄壁圓管算例結果進行了三種優化，分別是考慮參數的不確定性時復合材料薄壁結構吸能特性的均值最大化和標準差最小化優化設計，以及考慮載荷不確定性的優化設計。

5.1 均值最大為目標優化設計數學表達式

對于考慮參數的不確定性對復合材料薄壁結構進行吸能特性均值最大為目標的優化設計，其實就是在保證結構的特征尺寸處于設計要求的區間內，結構破壞的峰值載荷在設計希望區間內，之外還要保證比吸能的波動在一定范圍內，尋求使比吸能的平均值要盡可能大的設計參數。式(12)給出了該優化問題的數學表達式

max:SEAmean(x)

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

σSEAl≤σSEA(x)≤σSEAu

(12)

式中:x為復合材料薄壁結構的特征尺寸。在實際工程中不可能改變復合材料的力學性能使其符合優化設計的結果，因此在優化時對復合材料的力學性能進行優化并不可行的，而對于復合材料薄壁結構影響其吸能特性的參數除了材料的力學性能外只有特征尺寸，為此在這里選取特征尺寸為復合材料薄壁結構優化時的設計參數。xl表示特征尺寸的最小值，xu表示特征尺寸的最大值，特征尺寸的最大值和最小值通常取決于所設計吸能結構的使用空間。

SEAmean(x)指考慮參數的不確定性時復合材料薄壁結構軸向壓縮破壞比吸能的均值和復合材料薄壁結構特征尺寸之間的函數關系。

FZmean(x)指考慮參數的不確定性時復合材料薄壁結構軸向壓縮破壞峰值載荷的均值和復合材料薄壁結構特征尺寸之間的函數關系。FZmeanl表示峰值載荷均值的最小值，FZmeanu表示峰值載荷均值的最大值，峰值載荷均值的最大值和最小值通常取決于所設計吸能結構的使用要求。

σSEA(x)指考慮參數的不確定性時復合材料薄壁結構軸向壓縮破壞比吸能的均值和復合材料薄壁結構特征尺寸之間的函數關系。σSEAl表示比吸能標準差的最小值，σSEAu表示比吸能標準差的最大值，比吸能標準差的最大值和最小值通常取決于所設計吸能結構的使用要求。

5.2 均值最大復合材料圓管優化設計算例

根據使用空間限制有如下設計要求：復合材料圓管壁厚在1～3 mm，內徑在40～60 mm，峰值載荷在50～55 kN，比吸能最大。

max:SEAmean(x)

1≤h≤3

40≤D≤60

50≤FZmean(x)≤55

(13)

此時，優化問題的數學表達式為式(13)，將其代入MATLAB中對優化問題求解可以得到h=1.818 9 mm；D=57.575 7 mm。在此種特征尺寸時考慮復合材料薄壁結構參數的不確定性，該圓管比吸能的平均值為82.972 9 J/g。將特征尺寸代入的σSEA(x)中計算標準差為6.394 8 J/g。

當復合材料薄壁圓管直徑為57.575 7 mm，壁厚為1.818 9 mm時。接下來根據這組數據建立復合材料圓管有限元模型，經過有限元仿真計算得到比吸能的值為84.996 8/g。有限元仿真得到數值計算結果與響應面計算結果誤差為2.44%，誤差在可接受范圍內。

除此之外，為了實現自身的確定性參數導致的比吸能波動較小，在上述數學表達式中，約束函數要加入對σSEA的要求。

max:SEAmean(x)

1≤h≤3

40≤D≤60

50≤FZmean(x)≤55

σSEA(x)≤6

(14)

式(14)給出了該優化問題的數學式，代入到MATLAB中求解得到h=1.696 3 mm；D=56.27 9 mm。此時圓管軸向壓潰比吸能的均值為79.377 7 J/g，比吸能的標準差為5.517 6 J/g。

當復合材料薄壁圓管直徑為56.279 4 mm，壁厚為1.696 3 mm時。接下來根據這組數據建立復合材料圓管有限元模型，經過有限元仿真計算得到比吸能的值為74.376 6 J/g。有限元仿真得到數值計算結果與響應面計算結果誤差為6.72%，誤差在可接受范圍內。

比吸能的標準差代表由復合材料不確定性參數導致復合材料薄壁圓管壓潰試驗比吸能的分散性。對比考慮參數不確定性和不考慮參數不確定性的復合材料薄壁圓管優化結果可以看出，當進行優化設計時考慮了參數的不確定性，所得圓管在軸向壓潰時的比吸能的均值和標準差均小于優化時不考慮參數不確定性的優化結果。這就表明，在優化時考慮參數的不確定性，雖然會使結構比吸能的均值變小，但結構破壞時的比吸能分布會更加集中，提高了結構吸能特性的穩定性，對復合材料薄壁吸能結構設計有積極意義。

5.3 標準差最小為目標優化設計數學表達式

考慮參數的不確定性時對復合材料薄壁結構進行以吸能特性標準差最小為目標的優化設計，其實就是在保證結構的特征尺寸處于設計要求的區間內，結構破壞的峰值載荷在設計希望區間內，比吸能的均值為某一指定數值，尋求使比吸能標準差最小的設計參數。式(15)給出了該優化問題的數學表達式

min:σSEA(x)

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

SEAmean(x)=a

(15)

5.4 標準差最小復合材料圓管優化設計算例

在對復合材料薄壁圓管進行優化設計時，除了比吸能和峰值載荷達到要求外，還希望由于自身不確定性參數導致的復合材料圓管在壓潰時比吸能的變化盡量小，這時就需要采用標準差最小為目標的優化設計方法。此時設計要求如下：復合材料圓管壁厚在1～3 mm，內徑在40～60 mm，峰值載荷范圍設為50～55 kN，比吸能均值75 J/g，求比吸能標準差最小的圓管。

min:σSEA

1≤h≤3

40≤D≤60

50≤FZmean(x)≤55

SEAmean(x)=75

(16)

式(16)給出了該問題的數學表達式。根據前面確定的σSEA(x) 、SEAmean(x)和FZmean(x)代入到MATLAB中求解得到h=1.744 1 mm；D=52.983 mm。此時圓管軸向壓潰比吸能標準差為5.960 4 mm。

當復合材料薄壁圓管直徑為52.983 mm，壁厚為1.793 8 mm時。接下來根據這組數據建立復合材料圓管有限元模型，經過有限元仿真計算得到比吸能的值為70.718 1 J/g。有限元仿真得到數值計算結果與響應面計算結果誤差為5.71%，誤差在可接受范圍內。

5.5 考慮載荷不確定性的優化設計數學表達式

除復合材料薄壁結構自身材料性能和力學參數的不確定性外，吸能結構在破壞時的載荷情況也會對結構的吸能造成影響，而這種影響主要是由壓潰角度引起的，其中角度為壓潰板法線與圓管軸向之間的夾角。在對復合材料薄壁吸能結構進行優化設計時，除了希望由吸能結構自身不確定性引起的吸能特性波動小之外，還希望由壓潰角度的不確定性引起的吸能特性波動盡量小，這就是考慮載荷不確定性的復合材料薄壁吸能結構優化設計。式(17)給出了該優化問題的數學表達式：

min:SEAJD(x),FZJD(x)

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

SEAmeanl≤SEAmean(x)≤SEAmeanu

σSEA(x)≤σSEAu

(17)

SEAJD(x)指角度變化對復合材料薄壁結構壓潰時比吸能造成的影響大小與復合材料薄壁結構特征尺寸間的函數關系。

該優化問題的目標為使SEAJD(x)和FZJD(x)最小，是一個多目標優化問題，為了便于求解將目標函數求和，以SEAJD(x) +FZJD(x)為優化問題的目標函數將優化問題轉化為單目標優化。此時，優化問題的數學表達式為式(18)

min:SEAJD(x)+FZJD(x)

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

SEAmeanl≤SEAmean(x)≤SEAmeanu

σSEA(x)≤σSEAu

(18)

當優化目標函數為SEAJD(x)和FZJD(x)時，可能會出現大數吃小數的情形，即目標函數中某一項的數值遠大于另一項，在優化時較小的項會失去作用。為此對兩項分別進行歸一化后再求和。本文將原函數減去最小值后采用除以最大值和最小值間差值的方法進行歸一化，此時優化問題的數學表達式為

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

SEAmeanl≤SEAmean(x)≤SEAmeanu

σSEA(x)≤σSEAu

(19)

式中SEAJDl為在設計參數范圍內SEAJD的最小值，SEAJDu為在設計參數范圍內SEAJD的最大值；FZJDl為在設計參數范圍內FZJD的最小值，FZJDu為在設計參數范圍內FZJD的最大值。

5.6 受載荷不確定影響最小的復合材料圓管優化設計算例

在對復合材料薄壁圓管進行優化設計時，除了比吸能，峰值載荷大小以及由于自身不確定性參數導致的復合材料圓管在壓潰時比吸能的變化外，還希望復合材料薄壁圓管在壓潰時的吸能特性受壓潰角度影響盡量小，這時就需要采用了考慮載荷不確定性的優化設計方法。本文算例設計要求如下：復合材料圓管壁厚在1～3 mm，內徑在40～60 mm，峰值載荷在50～55 kN，比吸能均值在70～75 J/g之間，求比吸能標準差最小的圓管。

1≤h≤3

40≤D≤60

50≤FZmean(x)≤55

70≤SEAmean(x)≤75

σSEA≤6

(20)

式(20)給出了該問題的數學表達式，當前沒有公式來描述壓潰角度與復合材料薄壁結構吸能特性之間的關系，但因為壓潰角度的變化不會太大，因而只要擬合出在目標壓潰角度附近的局部的壓潰角度與吸能特性之間函數關系就能確定壓潰角度變化對復合材料薄壁結構吸能特性的影響。壓潰角度變化較小，本文擬合0°～10°壓潰角度與復合材料薄壁結構吸能特性之間的關系。

本文采用的是圓管，因而各方向角度變化對結果影響是一樣的，按照全因子試驗設計確定試驗角度見表6。根據表6中的第一列和第二列擬合出復合材料薄壁圓管壓潰時壓潰角度與比吸能之間的三階函數方程見式(21)，進行R2檢驗結果為0.998 3。壓潰角度與比吸能之間的關系，如圖11所示。對函數SEA(j)在j=0處對j求導，得到該處比吸能隨壓潰角度的變化情

表5 確定SEAJD(x)和FZJD(x)所用實驗矩陣

表6 確定SEA(j)和FZ(j)所用實驗矩陣

圖11 壓潰角度與比吸能之間關系

況，由于本研究關注的是比吸能的變化大小而不是比吸能具體是變大還是變小，為此對得到的導數去絕對值填到表5中的第四列。根據表6中的第一列和第三列擬合出復合材料薄壁圓管壓潰時壓潰角度與比吸能之間的三階函數方程見式(22)，進行R2檢驗結果為0.902 1。壓潰角度與峰值載荷之間的關系，如圖12所示。FZ(j)在j=0處對j求導，得到該處比吸能隨壓潰角度的變化情況，由于本研究關注的是比吸能的變化量的大小而不是比吸能具體是變大還是變小，為此對得到的導數去絕對值填到表5中的第5列。

SEA(j)=51.395 23-3.162 17j+0.560 02j2-

0.030 418j3

(21)

FZ(j)=15.338 09-0.470 82j-0.172 84j2-

0.011 744j3

(22)

圖12 壓潰角度與峰值載荷之間關系

根據表5中的第2，第3，第4列擬合SEAJD，對方程進行R2檢驗，R2等于0.981 7，擬合度滿足要求。與特征尺寸的關系的響應面方程見式(23)，響應面圖見圖13。

SEAJD=9.745-3.555h-0.130 5D+0.97h2+

0.030 5hD

(23)

圖13 SEAJD的響應面圖

根據表5中的第2，第3，第5列擬合SEAJD，對方程進行R2檢驗，R2等于0.929 7，擬合度滿足要求。與特征尺寸的關系的響應面方程見式(24)，響應面圖見圖14

FZJD=29.32-14.03h-0.940 9D+3.88h2+

0.108 3hD+0.009 126D2

(24)

式(14)在特征尺寸變化范圍內求得SEAJD的變化范圍為[1.16, 6.25]，FZJD的變化范圍為[0.055 5, 18.043 6]。

根據之前確定的SEA(x)，σSEA(x)和FZmean(x)，SEAJD(x)，FZJD(x)，SEAJDl，SEAJDu，FZJDl和FZJDu代入式(23)中對優化問題求解得到

圖14 FZJD的響應面圖

h=1.744 1mm，D=52.983 1 mm，此時SEAmean=74.999 5 J/g，σSEA=5.960 4 J/g，SEAJD=2.399 5，FZJD=2.427 3。

當復合材料薄壁圓管直徑為52.983 mm，壁厚為1.744 1 mm時。接下來根據這組數據建立復合材料圓管有限元模型，經過有限元仿真計算得到比吸能的值為70.718 1/g。有限元仿真得到數值計算結果與響應面計算結果誤差為5.71%，誤差在可接受范圍內。

6 結 論

(1) 使用Dyna的MAT54材料建立了復合材料薄壁結構圓管單層殼的基準值模型，對復合材料薄壁圓管軸向壓潰試驗進行了仿真，最后與試驗結果對比驗證了該方法的有效性。

(2) 采用響應面方法和中心組合試驗設計方法，通過較小的計算量解決了復合材料薄壁結構吸能特性指標與結構參數間沒有通用的函數關系的問題，得到了擬合度較好的響應面方程。

(3) 對復合材料薄壁結構優化設計進行了研究，建立了考慮參數不確定性時復合材料薄壁結構優化設計方法，并考慮了壓潰角度不確定性時復合材料薄壁吸能結構優化設計方法。

(4) 以T700/3234復合材料薄壁圓管為例，在規定特征尺寸范圍內分別對規定峰值載荷求比吸能均值最大，規定峰值載荷以及比吸能均值求比吸能標準差最小，和規定峰值載荷均值及比吸能均值求受角度變化影響最小問題進行了優化求解，并驗證了所提方法的正確性。