用于含阻尼薄板結構減振的分布式動力吸振器的優化方法研究

朱學治， 劉瀟翔， 焦映厚， 陳照波

(1.哈爾濱工業大學 機電工程學院，哈爾濱 150001；2.北京控制工程研究所，北京 100000)

動力吸振器是由Frahm[1]在一個世紀以前發明的。它是一款能夠針對特定頻率減振的理想裝置。由于具有簡單、可靠和高效等特點，動力吸振器廣泛應用于結構減振降噪工程中[2-4]。吸振器的減振性能對于結構振動特性的誤差非常敏感，單個吸振器用于結構減振時，參數設置稍有偏差就會造成減振效果的明顯下降。因此，學者們研究了具有自調諧功能的吸振器、多自由度吸振器、復式動力吸振器或者多個頻率不同的吸振器組合來克服這些缺點[5-7]。近年來，多個動力吸振器用于連續體的減振的特性得到廣泛的研究。研究人員發現，與單個動力吸振器相比，多個動力吸振器用于抑制結構的振動有更好的寬頻效果，分布式動力吸振器更容易獲得穩健的寬頻大范圍的減振效果[8-10]。

動力吸振器用于結構減振時，需要經過參數優化調諧才能獲得最優的減振效果。目前，用于單自由度系統減振的動力吸振器的優化問題已經有非常完善的方法。Denhartog[11]提出的不動點理論和單個動力吸振器的優化調諧方法是最經典有效的方法。Crandall等[12]提出了用于單自由度減振的單個動力吸振器的H2優化方法。Asami等[13]通過研究提出了用于阻尼線性系統減振的單個動力吸振器的優化調諧方法的解析表達式。

對于單個動力吸振器用于梁板等連續結構減振的優化方法研究也已經比較充足。Jacquot[14]研究了隨機激勵下動力吸振器對薄板減振的特性，并提出了動力吸振器減振的傳遞函數用來預測分析動力吸振器的減振效果，還指出了吸振器最優調諧參數的一般規律。Cheung等[15]提出了單個動力吸振器用于薄板結構減振的H∞和H2解析優化公式。Dayou[16]將不動點理論應用到用于連續體整體減振的單個動力吸振器的優化問題中，得到了簡潔的動力吸振器調諧公式。

然而，當多個動力吸振器安裝在梁板等連續體結構上減振時，多個動力吸振器與主結構組成的動力學系統就復雜的多。對于多個動力吸振器用于連續體結構的減振的優化，研究人員常常采用數值優化算法。盡管各種優化算法的應用能夠獲得多個動力吸振器的最優減振效果，但是由于算法往往比較復雜，這對于實際工程中的動力吸振器的優化設計不太方便。針對目前的研究現狀，并鑒于實際工程中的板類結構往往存在阻尼，本文研究的目的就是通過理論分析提出分布式動力吸振器用于含有阻尼的板類結構減振的參數優化調諧公式。使減振降噪工程中分布式動力吸振器的優化設計有比較簡潔且有效的理論依據。

1 理 論

如圖1所示，長和寬分別是a和b的矩形薄板上安裝有M個動力吸振器，薄板在位置(x0,y0)處受到一個外激勵f0(t)。

圖1 安裝了多個動力吸振器的薄板

利用模態疊加法可以得出薄板和動力吸振器組成的動力學系統的運動方程[17]

{P}f0(t)

(1)

其中振動位移向量可以表示為

(2)

式中：{w(t)}和{z(t)}分別為薄板各模態和動力吸振器的振動位移向量，它們的表達式分別是

{w(t)}={w1(t),w2(t),w3(t),…,wJ(t)}T

(3)

{z(t)}={z1(t),z2(t),z3(t),…,zM(t)}T

(4)

式中：J為振動系統中一共包含薄板的J階模態。

{P}為外激勵在薄板上的位置分布向量，其表達式為

(5)

這里

(6)

式中：{0}M為M階零向量。[φ(x,y)]為薄板的模態振型向量，其表達式為

[φ(x,y)]=[φ1(x,y),…,φj(x,y),…,

φJ(x,y)]T

(7)

式中：φj(x,y)為薄板的第j階模態振型。

式(1)中：質量陣，剛度陣和阻尼陣分別為

(8)

(9)

(10)

矩陣中各個子矩陣的表達式分別為：

[Kpr]=[Krp]T=[k1[φ(x1,y1)],k2[φ(x2,y2)],…,kM[φ(xM,yM)]],

[Dpr]=[Drp]T=[c1[φ(x1,y1)],c2[φ(x2,y2)],…,cM[φ(xM,yM)]]

在實際的工程中，振動結構的第一階模態或者基礎模態是最主要的模態，第一階模態頻率往往是動力吸振器應用的目標頻率。假設基板的振動以基礎模態主導，在簡諧運動假設條件下，振動系統的運動方程式(1)可以縮減為

(11)

[D1M]=

[K1M]=

由于動力吸振器的質量陣、剛度陣和阻尼陣在式(11)中是完全對角陣。每個動力吸振器的振動位移只和薄板的振動位移W1相關。根據動力吸振器的振動特征[18]，動力吸振器的振動位移幅值向量可以寫成

{Z}=Zref{s1,r,s2,r,…,sn,r,…,sM,r}T

(12)

其中

sn,r=φ1(xn,yn)

(13)

Zref為各個吸振器振動位移幅值的參考值。把式(12)代入到式(11)得到

(14)

式中：

(15)

所有吸振器都具有相同的參數，即每個吸振器的質量、固有頻率、阻尼比、剛度分別是mr，ωr，ξr，kr。并記u=mr/M1為質量比，g=ω/β1為激勵頻率比，f=ωr/β1為固有頻率比，δst=f0/K1為系統靜變形。

基板振動位移的大小可以表示為

(16)

式中：

Y1={f2-[1+4fξ1ξr+(1+Au)f2]g2+g4}2,

Y2=4g2{(f2-g2)ξ1+f[1-(1+Au)g2]ξr}2。

式(16)與有阻尼單自由度系統附加一個動力吸振器后的振動系統具有相同的特性。經分析，可以得到動力吸振器的最優調諧頻率比和最優阻尼比為

(17)

(18)

式中：

C0=52+41Au+8A2u2，

C1=-1 296+2 124Au+6 509A2u2+5 024A3u3+

1 616A4u4+192A5u5,

C2=48 168+112 887Au+105 907A2u2+49 664A3u3+

11 632A4u4+1 088A5u5

當基板無阻尼時，動力吸振器的最優調諧頻率比和最優阻尼比退化為

(19)

(20)

2 數值計算與討論

2.1 優化公式的數值計算驗證

優化調諧公式是通過式(14)表示的簡化的二自由度振動系統推導得到的。優化調諧公式能否適用于原“阻尼薄板-分布式動力吸振器”振動系統，可以通過計算原振動系統的振動響應來分析驗證。根據式(1)可以計算得到原振動系統的振動響應

{Q}=(-ω2[M]+jω[D]+[K])-1{P}f0

(21)

其中振動位移表達式為

(22)

薄板各階模態以及各個動力吸振器的振動位移表達式分別可以寫成{w(t)}={W}ejωt和{z(t)}={Z}ejωt。

計算分析中，M個動力吸振器均布在薄板上，分為ra行和rb列。每行與每列吸振器之間以及外邊動力吸振器到薄板邊緣的距離為a/(ra+1)和b/(rb+1)。

薄板和動力吸振器的參數設置，如表1所示。

表1 薄板和動力吸振器的參數設置

通過式(21)計算得到由第一階模態主導的薄板的振動位移，如圖2所示。圖2中實線表示未安裝吸振器時，阻尼薄板的振動響應。其他幾條曲線表示安裝動力吸振器后薄板的振動響應。安裝阻尼薄板上安裝分布式動力吸振器后，薄板的振動得到明顯的抑制。圖中的點劃線表示吸振器的參數是根據本文的優化方法來設定的。點線代表吸振器參數經過Denhartog的經典調諧公式設定，虛線表示吸振器的參數是任意設定值。對比幾條曲線容易得知，任意設定吸振器的參數具有很大的盲目性，吸振器往往達不到最好的減振效果。經典調諧公式雖然對單自由度系統中的單個動力吸振器有很好的優化結果，但它并不適用于連續體上安裝的多個動力吸振器的優化。根據本文的優化方法設定動力吸振器的參數后，薄板振動響應曲線上的兩個峰值取得相同的振動量。這證實了本文的優化調諧公式對于優化阻尼薄板結構上的分布式動力吸振器參數的有效性。

圖2 薄板的單模態振動響應

本文中優化公式是以“薄板的振動以第一階模態主導”為假設條件推導得到。但實際上，薄板的振動還有高階模態的貢獻量。因此，當計及薄板的多階模態從而使得薄板發生真實的振動情況時，本文提出的優化公式是否還適用，以及相對于經典優化公式是否還有優勢需要進行驗證。通過式(21)計算得到薄板的多階模態振動位移后，可以求得薄板的綜合振動

w(x,y,t)=[φ(x,y)]T{W}ejωt

(23)

這里需要注意，式(21)所示的薄板振動響應的求救是根據薄板的振動方程式(1)直接求逆得到，求解過程中不含有任何假設及簡化，因此求得的結果是 “邏輯絕對正確”的結果。將薄板的阻尼設置為0.15，計及的模態共“7×7”49階模態，經過優化調諧的吸振器的減振效果，如圖3所示。將圖3中各個參數設置所取得的減振曲線與圖2中相應的曲線進行對比，不難發現，盡管計及了薄板的多階模態，吸振器對薄板的真實振動抑制效果與對薄板一階模態振動抑制效果是一致的。也即，本文提出的優化方法能夠對吸振器進行優化調諧從而夠獲得對薄板真實振動的最理想的抑制效果。

圖3 包含多階模態的薄板的振動響應

2.2 優化公式對薄板綜合振動抑制的優化效果

吸振器在實際應用中，其最優調諧減振效果有可能受到薄板其他階模態的阻尼的影響，本部分分析薄板的高階模態阻尼對最優調諧吸振器的減振效果的影響。將薄板設定為無阻尼(ξj=0)、小阻尼(ξj=0.03)、中阻尼(ξj=0.15)和大阻尼(ξj=0.3)4種阻尼狀態，分別計算薄板含有不同數量的模態階數(J=1×1,2×2,3×3,7×7)時，在每種阻尼狀態下的綜合振動。選定薄板的中心點(xp,yp)為振動響應拾取點。計算結果如圖4～圖7所示。

對比各圖中的實線代表的無阻尼薄板的低頻綜合振動： 圖4表示薄板的振動以其第一階模態主導，當算例中計及的薄板的模態階數增加后(見圖5～圖7)，薄板的綜合振動量沒有明顯的提高。當薄板中的阻尼值增加后，計算中高階模態的引入也沒能導致薄板綜合振動量的明顯提升。因此，在包含薄板一階模態頻率的低頻范圍內，薄板的振動是以其一階模態主導的。

圖4 包含1×1階模態的薄板的振動響應

圖5 包含2×2階模態的薄板的振動響應

圖6 包含3×3階模態的薄板的振動響應

圖7 包含7×7階模態的薄板的振動響應

在圖4和圖5中，薄板綜合振動響應的算例中計及的模態階數分別是1×1和2×2。在這兩種模態數量的情況下，薄板在各個阻尼狀態下的振動響應曲線上的雙峰都取得了相同的振動位移，本文中的優化公式取得了理想的優化效果。當更多的模態參與到振動響應計算中后，薄板振動響應曲線上的兩個振動位移峰值的量值產生了差值，如圖6和圖7所示。但是，從圖7也可知，盡管參與計算的模態數已經很大，兩個振動位移峰值的差值并不顯著。而且，隨著薄板阻尼值的提高，兩個峰值的量值趨于相同。因此，采用分布式動力吸振器來抑制含阻尼薄板結構的特定共振頻率處的振動時，利用本文提出的優化公式來調諧吸振器的參數能夠獲得理想的最優減振效果。

3 結 論

(1) 本文研究了用于抑制薄板結構低頻振動的分布式動力吸振器的優化方法。以“薄板的振動以其第一階模態主導”和“每個動力吸振器都具有相同的參數”為假設條件，并采用含阻尼線性系統中吸振器的最優參數的求解方法，推導得到了分布式動力吸振器的最優調諧頻率比和最優阻尼比的解析表達式。

(2) 考慮到薄板結構在工程應用中不可避免的存在阻尼，為了使本文的研究更加貼近于實際，薄板中的阻尼以模態阻尼比的形式引入。

(3) 本文推導得到的解析優化公式的形式與經典的單自由度系統中吸振器的調諧公式的形式相似，但是分布式動力吸振器的最優調諧頻率比和最優阻尼比還與吸振器在薄板上的安裝位置及薄板的阻尼比相關。

(4) 本文提出的優化調諧公式通過數值計算得到了驗證。數值計算分析還表明，盡管優化公式是以“薄板是單一模態振動”為假設條件推導得到，薄板結構振動中的其他模態的貢獻量以及其他模態的阻尼對優化效果的影響很微小。

(5) 本文推導得到的優化調諧公式可以很便捷的應用在分布式動力吸振器的設計中，從而獲得對含阻尼薄板結構共振頻率處綜合振動抑制的最優效果。