聚焦三角函數(shù)的求值題型

■徐春生

三角函數(shù)的求值題型是三角恒等變換的重要題型，解決這類問題的關(guān)鍵是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，依據(jù)函數(shù)名稱的變換特點(diǎn)，選擇合適的公式求解。

一、給角求值型

例1

分析：先將65°化為35°+30°，再利用兩角和的正弦公式展開化簡即可。

解：應(yīng)選C。

評注：給角求值型的解題思路：一般所給的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角恒等變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值。

二、給值求值型

例2已知，則sinα=____。

分析：先將α化為，再由已知條件求出的值，最后利用兩角差的正弦公式求值。

解：由得因?yàn)樗杂煽?得

評注：給值求值型解題的關(guān)鍵在于“變角”，如α= （α+β）-β，2α= （α+β）+（α-β）等。解題時(shí)，可把所求角用已知角的式子表示，但要注意對角的范圍進(jìn)行討論。

三、給值求角型

例3已知，且0＜β＜α，則β=____。

分析：先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinα和sin（α-β）的值，再利用兩角差的余弦公式求出cosβ的值，進(jìn)而根據(jù)角的范圍求出β的值。

解：由，可得所以

由β=α-（α-β），可得cosβ=cosα·

評注：給值求角型的解題常遵照以下原則：（1）已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)，若角的范圍是，選正、余弦函數(shù)皆可，若角的范圍是（0，π），選余弦函數(shù)較好，若角的范圍是選正弦函數(shù)較好。（2）討論角的取值范圍。（3）根據(jù)角的取值范圍求出要求的角。