掃描三角恒等變換中的解題誤區(qū)

■謝邦城

三角恒等變換的方法靈活多變，突出對思維的靈活性和嚴密性的考查。同學們在解題時，稍有不慎，便會出現增解、漏解或錯解的情況。下面歸納三角恒等變換求解中的誤區(qū)，希望能給同學們以警示。

誤區(qū)1：對三角函數的定義理解出錯

例1已知角θ的終邊落在直線y=-3x上，求2 sinθ+3 cosθ的值。

錯解：取該直線上一點（1，-3），則sinθ=-3，cosθ=1，所以2 sinθ+3 sinθ=2×（-3）+3×1=-3。

剖析：上述解法對sinθ=y，cosθ=x的理解有誤，定義中的點（x，y）應是角θ終邊與單位圓的交點坐標，而不是任意點。設角θ終邊與單位圓的交點為（x，y），則解得

警示：這類問題需要借助單位圓，將角θ終邊上的點轉化成終邊與單位圓的交點，再依據三角函數的定義求解。

糾錯練習1：若α的終邊所在直線經過點則sinα=____。

提示：由點P的坐標可知直線過第二、四象限。若α的終邊在第二象限，則sinα=；若α的終邊在第四象限，則sinα

誤區(qū)2：忽視軸線角的討論

例2已知sinα=2 sinβ，tanα=3 tanβ，求cosα的值。

錯解：因為，所以

由sin2β+cos2β=1，可得cos2α=1，解得，即

剖析：上述解法是在tanα≠0，tanβ≠0的前提下得到的結果，而已知條件包含了tanα=0，tanβ=0的情形，即軸線角α=β=kπ（k∈Z），此時cosα=±1也滿足題意。

警示：在三角函數求值中，熟練選用三角公式和正確把握各個公式成立的前提條件是解題的關鍵。解答本題要注意對軸線角的討論，以避免漏解。

糾錯練習2：已知α為第三象限角，則2α終邊落在____。

提示：由α是第三象限角，可得2kπ+π，則4kπ+2 π＜2α＜4kπ+3 π，k∈Z，故2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負半軸上。

誤區(qū)3：忽視三角函數求值中的隱含條件

例3若α，β，γ均為銳角，且sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，則α-β等于（ ）。

錯解：由已知條件可得sinα-sinβ=-sinγ，cosα-cosβ=cosγ，兩式平方相加可得因為α，β均為銳角，所以，故應選C。

剖析：上述解法沒有充分利用α，β，γ均為銳角的條件導致增解。

由已知條件可得sinα-sinβ=-sinγ，cosα-cosβ=cosγ，兩式平方相加可得由于γ為銳角，可知sinαsinβ=-sinγ＜0，所以sinα＜sinβ。

又α，β均為銳角，可得α＜β，故-β＜0，可知應選B。

警示：由α，β，γ均為銳角，可得隱含條件sinα＜sinβ，即α＜β，這也是解答本題的關鍵。

糾錯練習3：設方程的兩根為x1，x2，記x1=tanα，x2=tanβ，0＜，則α+β=____。

提示：由方程的判別式恒大于0，且可知x1＜0，x2＜0。

因為x1=tanα，x2=tanβ，所以α，β∈可得

又-π＜α+β＜0，故

誤區(qū)4：給值求角中選用三角函數名稱不當

例4若，且α，β均為銳角，求2α+2β的值。

錯解：因為α為銳角，所以cosα=

因為β為銳角，所以

又因為sin（α+β）=sinαcosβ+cosα·，且＜π，所以或，即2α+2β或

剖析：因為函數y=sinx在[0，π]上不是單調函數，y=cosx在[0，π]上是單調函數，所以應求cos（α+β）的值，以防止增解。

由上面解法可得cos（α+β）=cosαcosβ

警示：由三角函數的值確定角的大小，一定要結合角的范圍選擇合適的三角函數。一般地，已知正切函數值，選正切函數；已知正、余弦函數值，若角在（0，π）上，選余弦函數，若角在上，選正弦函數。

糾錯練習4：若A，B均為銳角，且tanA則A+2B的值為（ ）。

提示：由且B為銳角，可得，即得tanB=，所以

誤區(qū)5：忽視三角函數值對角的影響

例5已知且α∈（0，π），β∈（0，π），求2α-β的值。

錯解：由可得 tanα=tan[（α-β）+β]=所 以 tan 2α=則 tan （2α-β）=

由α∈（0，π），β∈（0，π）可得2α-β∈（-π，2 π）。

剖析：上述解法在求2α-β的范圍時，只是依據了題目所給的α∈（0，π）和β∈（0，π），而忽視了三角函數值對其角的取值范圍的限制。

又因為tan（2α-β）=1，所以

警示：給值求角時，角的取值范圍容易被忽視而出現增解，因此要注意三角函數值對角的取值范圍的限制。

糾錯練習5：已知0＜θ＜π，sinθ+cosθ則cos 2θ=____。

提示：因為0＜θ＜π，sinθ+cosθ=＜0，所以對兩邊平方可得，所以π＜2θ＜

感悟與提高

參考答案：

1.提 示：因 為所 以

2.提示：原式