體驗求值題型，感受“三角”魅力

■劉德龍

面對三角函數的求值、化簡和證明問題，許多同學感覺無從下手，而三角恒等變換是三角函數的求值、求角問題中的難點和重點，其難點在于：一是如何熟練掌握眾多公式，二是如何根據三角函數的形式去選擇合適的求值、求角方法。三角函數求值問題常見的題型有三種：給值求值、給角求值、給值求角。

題型一：給值求值

例1已知則tan 2α=____。

解：（方法1）由解得或因此或tanα=3。

點評

方法1是常用解法，通過聯立方程組，再利用二倍角的正切公式求解。方法2優于方法1，方法2是利用二倍角的正弦、余弦公式變形求解。

例2已知則cosβ的值為____。

解：因為所以又因為，所以由于所以

點評

解答三角函數的給值求值問題，關鍵是把所求角用已知角表示。已知角為兩個時，所求角一般表示為已知角的和或差關系；已知角為一個時，所求角一般表示為已知角的倍數關系、互余或互補關系。

題型二：給角求值

例3化簡____。

解：原式

點評

通過變換三角函數名稱達到減少三角函數種類的目的，其手法通常有“切化弦”“升冪與降冪”等。

例4（1+tan18°）·（1+tan27°）的值是（ ）。

解：由題意可知27°+18°=45°，所以，可得tan27°+tan 18°=1-tan 27°tan 18°。

故原式=1+tan 18°+tan 27°+tan 18°·tan 27°=1+tan18°tan27°+（1-tan 18°·tan 27°）=2。應選C。

點評

把所求問題中的非特殊角向特殊角轉化是解答本題的突破口。

例5sin 15°+sin 75°的值是____。

解：（方法1）sin15°+sin75°=sin15°+

（方 法 2）因 為 （sin15°+sin75°）2=（sin 15°+cos15°）2=1+2 sin15°cos15°=1，又sin 15°＞0，sin 75°＞0，所以sin 15°+sin 75°＞0，故

點評

題中所給的角都是非特殊角，從表面上看是很難求出的，但仔細觀察非特殊角與特殊角的關系，就不難發現這種解題的方法了。

題型三：給值求角

例6已知且，則β=____。

解：由，可得因為所以sin（α-β）=

由上可得cosβ=cos[α-（α-β）]=

點評

解答本題的關鍵在于角的變換，即β=α-（α-β）。

例7已知α，β∈（0，π），且tan（α-β）=，則2α-β的值為____。

解：由α=（α-β）+β，可得tanα=可知

給值求角時，應先求出角的某個三角函數值，再求出角的取值范圍，最后確定角的大小。

感悟與提高

求（1+tan1°）（1+tan2°）·…·（1+tan 43°）（1+tan 44°）的值。

提示：由所給角度成等差數列，可進行整體處理。設S=（1+tan 1°）（1+tan 2°）·…·（1+tan 43°）（1+tan 44°），則S=（1+tan 44°）（1+tan 43°）·…·（1+tan 2°）（1+tan 1°）。

上述兩式相乘可得S2=[（1+tan 1°）（1+tan 44°）]·[（1+tan 2°）·（1+tan 43°）]·…·[（1+tan 44°）（1+tan 1°）]。

當α+β=45°時，tan（α+β）=，所以tanα+tanβ+tanα·tanβ=1，即（1+tanα）（1+tanβ）=2。

于是可得S2=244，即S=222。

所以原式=222。