剖析三角變換中常見的思想方

■任亞楠

三角函數是高中數學的重要內容，其中，三角函數之間的變換因其方法靈活多樣，一直以來都是高考必考的內容。同學們在學習的過程中，要熟練掌握以下幾種數學思想方法，有助于提高同學們靈活處理問題與解決問題的能力。

一、轉化與化歸思想

例1求函數y=5 sinx+cos 2x的最值。

解析y=5 sinx+（1-2 sin2x）=因為-1≤sinx≤1，所以：

當sinx=-1，即時，ymin=-6；

當sinx=1，即（k∈Z）時，ymax=4。

點評

解答本題時，要先觀察三角函數的名和角，其中一個為正弦，一個為余弦，角分別是單角和倍角，所以需先化簡，使三角函數的名和角達到統一，再求值。另外，對于三角函數的最值問題，有時可以先利用三角恒等變換公式，將其轉化為形如y=asin2x+bsinx+c或者y=Asin（ω x+φ）+b的形式，再采取相應的方法求最值。

跟蹤練習1：若函數tanx）cosx，且，則f（x）的最大值為（ ）。

提示：因為故當時，函數f（x）取得最大值為2。應選B。

二、數形結合思想

例2函數2 sinx-|l n（x+1）|的零點個數為____。

解析

f（x）=4令f（x）=sin 2x-即在同一平面直角坐標系中分別畫出函數y=sin 2x與函數的圖像，如圖1所示，由圖像可知兩個函數共有2個交點。故函數f（x）的零點個數為2。

圖1

點評

利用三角函數圖像解決三角問題，形象、直觀，可使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化。由此可見，數形結合思想在三角函數中有著廣泛的應用，也會帶來令人驚喜的效果。所以同學們一定要掌握這個方法，以提高解題速度。

跟蹤練習2：若sinα+cosα=tanα則α∈（ ）。

提示：令函數f（x）=sinx+cosx=，在同一直角坐標系中分別畫出函數f（x）=與函數g（x）=tanx的圖像，如圖2所示，從圖像上可以看出交點P的橫坐標

圖2

三、函數與方程思想

例3設a為正常數，求函數y=2asin（π-x）+2acos（-x）-tanxcos2x-2a2的最大值。

解析

y=2asinx+2acosxsinxcosx-2a2=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-2a2。令t=sinx+cosx，則兩邊同時平方得，代入y=2a（sinx+cosx）-sinxcosx-2a2，得

點評

本題綜合考查了三角函數中的函數與方程的思想。解題時先利用換元，再利用函數與方程的觀點和方法處理變量與未知數之間的關系，這種解題的思想方法，同學們務必掌握。

跟蹤練習3：化簡

提示：設則：

感悟與提高

若3 sinα+cosα=0，則的值為（ ）。

提示：由3 sinα+cosα=0，得于是應選A。