幾種不同壽險精算模型下均衡純保費的探究

宋鵬飛 高符嚴

山東大學數學學院

由于有時躉繳純保費的額度過大，這就有可能讓被保險人因為經濟原因而取消保險計劃，因此在現實中可以運用分期繳納的方法，以此來降低被保險人的經濟壓力。以被保險人的生存作為繳費的先提條件，按照相等的時間間隔下的分期繳納的純保費叫做期繳純保費，每次繳納的相等數額的純保費就叫做均衡純保費（Equilibrium Net Premium），主體字母我們用P表示。下面，我們將對幾種根據不同躉繳純保費與繳納保費的方式產生的均衡純保費進行具體探究。以下均以年齡為x歲的終身壽險的躉繳純保費舉例，以與分別表示保險受益金在死亡所在年度末支付（離散型人壽保險模型）與立即支付（連續型人壽保險模型）的躉繳純保費；以與分別表示年初付終身生存年金精算現值與連續型終身生存年金精算現值。

一、全離散式壽險模型的年繳均衡純保費

全離散式壽險模型指的是保險費按期初付生存年金方式繳付,保險受益金（死亡給付）在死亡的保單有效年度末支付的離散型保險模型，這種方式導出的均衡純保費我們稱作全離散式壽險模型的年繳均衡純保費。這種均衡純保費意味著我們將躉繳純保費平均分攤到各個保險年度、每次在被保險人生存的條件之下在保單年度初等額繳納的保費，直到合同約定的繳費期完成為止。這種壽險模型是壽險實務的基礎，在精算發展史上有著重要的意義，對推動精算理論的發展起著重要的作用。

我們可以以普通終身壽險為例，導出年繳均衡純保費公式：設年齡為x的1單位普通終身壽險的年繳純保費為，則保險人損失隨機變量(K=0,1,2,…),是每年年初付1單位終身生存年金的現值，則我們有，其余類型的年繳純保費可由其定義做類似推導。

二、全連續型終身壽險模型的年繳均衡純保費

三、半連續型終身壽險模型的年繳均衡純保費

半連續壽險模型可以說是將全離散式與全連續式壽險模型綜合并加以修改而得的，半連續型終身壽險有兩種形式不同的模型。其中在保險實務中最常使用的半連續型終身壽險模型是：死亡給付是在被保險人死亡的是即時支付，且保險費按照期初付生存年金的方式來繳納。這種模型比較切合實際，具有較強的實用性和可操作性。其年繳均衡純保費的計算方法與全連續式壽險模型類似，只是在年繳純保費采用的符號上有差異。

設年齡為x的投保保險額為1個單位的半連續式終身壽險，保險金在被保險人死亡時立即給付，其年繳純保費用符號表示，則該壽險的保險損失為，則有是每年年初付1單位終身生存年金的現值，根據平衡原理有。

根據幾種計算公式的導出，可以看出均衡純保費的計算原理為精算平衡原理（Equivalence Principle），即E[L]=0，這也就為我們計算一般人壽保險的均衡純保費提供了理論支撐，有利于我們在實務中的應用。

顯然，我們推導的全連續模型與半連續模型中保險費按連續型生存年金支付這兩種類型在現實生活中基本不可操作，但是我們從理論上對它們進行同等程度的討論任然是非常重要的，因為這有助于我們完善整個壽險精算理論體系。特別地，由每年真實分m次繳付的年繳純保費取極限遞推出第二種半連續模型的過程，更加有利于我們對特殊模型及其均衡純保費的分析與計算。