數學追本溯源之差角余弦公式的四種推導證明

谷耀東 李博

摘?要：本文橫縱對比教材的變新過程，分別從圓的內接四邊形、單位圓、向量、三角形四個角度給出推導證明，旨在追求數學知識的通透理解。

關鍵詞：差角;余弦公式;推導證明

一、 前言

在我們的高中數學教材中，很多三角問題都經受了歲月的洗禮，比如差角余弦公式的推導，從托勒密時代開始，數學家們就運用各種方法來進行證明。對比普高、職高、技工、中專等教材，以及人教A、B版、蘇教和北師大版本教材，差角余弦公式的證明采用了幾種不同的證法。

二、 四種推導證明的思路和方法

（一） 借助圓的內接四邊形

首先要介紹托勒密定理：圓的內接凸四邊形兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

如圖1，設圓O的直徑AC=d，∠ACD=β，∠BAC=α，則AB=d·cosα，CD=d·cosβ，BC=d·sinα，DA=d·sinβ。

過點D作直徑DE，連接BE，△DBC中，∠BDC=∠BAC=α，在△DOC中，∠ODC=β，∠BDE=α-β，所以在Rt△BDE中，BD=d·cos（α-β）。

由托勒密定理得：dcosβ·dcosα+dsinα·dsinβ=d2·cos（α-β），即cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

（二） 借助單位圓三角函數線

借助三角函數線證明。設角α的終邊與單位圓交于點A，角β=∠AOB，則∠BOx=α-β。過點B作BC⊥OA，交于點C，過C作CD⊥x軸，則作BE⊥CD，BF⊥x軸。在△OBC中，OC=cosβ，BC=sinβ，在△ODC中，OC·cosα=OD，OC·sinα=CD，在△BEC中，BC·sinα=BE。所以cos（α-β）=OD+DF=OD+BE=OC·cosα+BC·sinα=cosα·cosβ+sinα·sinβ，差角余弦公式得證。注意，公式中的α和β可以為任意角。

（三） 利用向量推導差角余弦公式

同樣在單位圓中，設OA=（cosα，sinα），OB=（cosβ，sinβ），OA·OB=cosα·cosβ+sinα·sinβ，又存在k∈Z，使得α-β=〈OA，OB〉+2kπ可或α-β=-〈OA，OB〉+2kπ，所以OA·OB=|OA|·|OB|·cos（α-β）=1·1·cos（α-β），故cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ，得證。可見，這是差角余弦公式證明方法中最簡單的一種。

（四） 構造直角三角形

在三角形中，假設△ABC是以∠A為鈍角三角形，延長BA，過C作CD⊥BA的延長線，過A作AE⊥BE，過E作EF⊥CD，交CD于F。設∠DCB=α，∠ACB=β，CE=m，則在△CEF中，CF=m·cosα。又∠AEF+∠CEF=90°，∠α+∠CEF=90°，則∠AEF=∠α。AE在CD邊上的射影FD=AE·sinα，所以CD=CF+FD=m·cosα+AE·sinα=tanβ·m·sinα+m·cosα。又在△ACD中，CD=AC·cos（α-β）=mcosβ·cos（α-β），所以tanβ·m·sinα+m·cosα=mcosβ·cos（α-β），即tanβ·sinα+cosα=1cosβ·cos（α-β），故化簡得cos（α-β）=cosβ·tanβ·sinα+cosα·cosβ=cosα·cosβ+sinα·sinβ。

同理，如圖2，假設△CDE是銳角三角形，過D作DB⊥CD，延長CE交DB于B，過E作EA⊥CE，交BD于A，連接CA，過E作EF⊥CD于F。設CE=m，∠ECD=α，∠ECA=β，則證明過程同上。

三、 差角余弦公式證明方法總結

本文的差角余弦公式是和（差）角正（余）弦公式中最基本的一組公式，其推導證明對學生發散思維，深入探究有很大幫助。本文探究基本分為4步：

1.明確證明目標，構造α、β及cos（α-β）的等式或方程;

2.尋找解決平臺，利用圓、單位圓、向量、三角形作為背景平臺，尋找我們希望的等式關系;

3. 構造數據，分類推導證明;

4.化簡整理，得出結論。

四、 結語

差角的余弦公式是三角函數恒等變換的基礎，其他三角函數公式都是在此公式基礎上變形得到的，因此差角余弦公式作為要推導的第一個公式，往往得到了廣大教師的關注。從四種不同的推導證明過程可以看出，不同的推導方法體現出不同的數學特點，不同的巧妙構思，但有相同的結果，也進一步體驗了數學的博大精深。對于吃透數學定義的本質，提高學生的提出問題、分析問題、研究問題、解決問題的能力有很大的作用。

參考文獻：

[1]人民教育出版社B版數學必修4[M].北京：人民教育出版社，2007：133.

[2]俞昕.從變換的角度賞析“兩角差的余弦公式”之推導[J].中學數學雜志：2015（3）：10.

作者簡介：

谷耀東，遼寧省大連市，大連市旅順第二高級中學;

李博，遼寧省大連市，大連市旅順口區新城實驗學校。