《圓》中易錯點分析

摘?要：《圓》章節是數學教學的難點，也是考試的重點，學生對這一章節的掌握難度比較大，容易出現易錯點。因此，教師在教學過程中應著力學生易錯點，整理學生易錯習題和知識點，通過易錯點的分析幫助學生建立完善的《圓》章節知識體系，加深學生對這部分內容的理解，可以有效提升學生分數，降低錯題出現率。

關鍵詞：初中數學;圓;易錯點

俗話說，吃一塹，長一智。錯一次不可怕。想要數學這門學科得高分，僅靠學生埋頭苦戰題?？隙ㄊ切胁煌耍越處熜枰獙W生的錯題做一個系統的處理和歸納，然后不斷內化和總結。只有這樣學數學才會越來越輕松，我們才能做到知識點之間的融會貫通，我們才能做到學以致用。

一、 忽略了點與圓的位置關系

在教學過程中，點和圓的位置關系比較容易理解，主要是以點P到圓心O的距離與圓O的半徑對比，分為點在圓上、點在圓內和點在圓外。點和圓的位置關系理解起來也比較簡單，但在實際解題中容易出現問題，因為教材中的點與圓的位置關系是單點和單圓，而在實際解題中容易出現多點對單圓或多圓對單點的問題，如果不能很好把握點與圓的位置關系，很容易出現解題的失誤，導致丟分。

如常見的題型：平面上有⊙O及一點P，P到⊙O的上一點距離最長為6cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為????cm。學生在解題過程中容易得出一個答案，有的填4，有的填2，而實際答案是4或2cm。很多學生在教師公布答案以后容易出現短暫的盲目，不知道另外一個答案如何得來。因此，教師應幫助學生重新構建點與圓位置關系的知識點，將解題過程做好分類討論：①當點P在圓內時，則2R=6+2=8，所以⊙O的半徑為4cm;②當點P在圓外時，則2R=6-2=4，所以⊙O的半徑為2cm，綜上所述，⊙O的半徑為4cm 或2cm。

分析：這里需要注意一點，部分學生認為自己得出一個答案是因為自己的馬虎，而非知識點掌握不全，基于這一思路，教師可以在課堂末尾或下一個課時重新組織一道類似的題目讓學生進行解題，對二次出現答案錯誤的同學進行單獨溝通，以此來幫助學生加深對知識點的記憶。

二、 忽略了一弦所對的弧有兩條，且兩弧之和為一個圓周長

一弦所對的弧有兩條，且兩弧之和為一個圓周長這一知識點比較容易理解，教材教學通常是通過數形結合的方法幫助學生記憶和理解。學生在學習過程中，在單圓中掌握一弦所對的弧有兩條是比較容易的，特別是目前多為多媒體教學，直觀性比較強，這部分理論內容基本一筆帶過即可，不需要做過多的解釋。但在實際教學中，學生在解題過程中，容易受到慣性思維的影響，在求解的過程中容易側重于一弦所對的最長的弧求解，而對另一部分的弧長自動略過，導致答案不完整，甚至在一些題目中還會影響解題過程，導致解題的失敗。因此，教師在教學過程中應注意數形結合，強化兩弧之和為一個圓周長這一知識點，從而幫助學生在解題過程中減少失誤點，提升解題的速度。

例如：已知△ABC內接于⊙O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長是多少？

解：①如圖3，當三角形的外心在三角形的內部時，連接AO并延長交BC于點D，∵AB=AC，O為外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，根據勾股定理，得BD=4，在Rt△ABD 中，根據勾股定理，得AB=42+82=45（cm）。

②如圖4，當三角形的外心在三角形的外部時，連接AO交BC于點D，在Rt△BOD中，根據勾股定理，得BD=4，在Rt△ABD中，根據勾股定理，得AB=42+22=25（cm）。綜上所述，AB的長為45cm或25cm。

分析：△ABC是⊙O內接三角形，AD是⊙O的直徑，AD=6cm，∠ABC=∠CAD，求弦AC所對的弧長。簡單從這一題來看，學生采用數形結合的方式在解題時，是自己作圖，作圖時對內容理解比較深入，容易得出所對的弧長有兩部分，答案計算正確，解題快速。

三、 忽略了一弦所對的圓周角有兩個，且它們有互補關系

一弦所對的圓周角有兩個，且它們有互補關系也是教材中《圓》的重要理論知識點，單純從理論教學來看，難度并不大，而且也容易理解，但一旦在與試題應用和其他知識點相聯系則容易出現明顯的問題，導致學生理解起來比較困難。

如常見例題，⊙O的一條弦AB將圓周長分為3∶7兩部分，試求弦AB所對的圓心角和圓周角的度數，并作出圖。

解：根據弦AB分圓周長為3∶7兩部分，所以弦所對的圓心角為108°和252°，再根據圓周角的度數等于它所對圓心角度數的一半，得弦對的圓周角分別是54°和126°。

分析：從題目來看，求解圓心角的比較簡單，但很多學生在圓周角的度數解題時出現了問題。弦AB分圓周長為3∶7兩部分，所以弦所對的圓心角為108°和252°，再根據圓周角的度數等于它所對圓心角度數的一半，得弦對的圓周角分別是54°和126°。解題比較簡單，但如果不能將“一弦所對的圓周角有兩個，且它們有互補關系”與“周角的度數等于它所對圓心角度數的一半”知識點聯系起來，解題就比較困難。

四、 忽略了弦與圓心的位置關系

弦與圓心的位置關系可以分為同側和異側，如果沒有說明應注意計算兩側，如果題目中配圖則需要按圖計算即可，計算難度比較低。但在具體的計算過程中，學生容易自動將弦與圓心的位置關系自動按照同側進行計算，導致計算失誤，出現丟分的現象。

如常見題型：⊙O的半徑為1，過點A有兩條弦AC=2，AB=3，求∠CAB的度數。這一試題中，計算時很多同學會自動按照同側進行計算，按照數形結合的方式進行構圖，在解題過程中如果是同側得出的解題的答案是15°，如果按照異側計算則是75°。教師在解題過程中應按照分類的原則進行計算，幫助學生掌握解決類似題目時的規律和方法，從而減少學生因思維慣性導致的錯誤。弦與圓心的位置關系是考核的重點，涉及的題型也比較多，有的是求角的度數，有的是求線的長度，變化也比較多，因此教師應結合不同的題型，強化知識內容，幫助學生更好地掌握這部分的內容，特別是應準備歷年的中考題，從中挑選有代表性的試題進行解釋和計算。

五、 總結

《圓》這一部分的章節內容涉及的知識點比較多，需要利用數形結合的思想才能解決。但是在實際解決過程中，學生容易受到思維定勢的影響，產生計算錯誤，部分學生將這種錯誤歸屬于馬虎，對待錯題不認真。因此，教師在教學過程中應整理學生常見的錯誤題型，幫助學生認識到自己錯誤的原因，引導學生對錯誤習題進行重組，進而加深對知識點的理解和認知，提高解題速度和準確率。

參考文獻：

[1]安宇杰.談初中數學易錯點的提前干預[J].才智，2018（9）：122.

[2]曾繁僑.初中“數學問題”中易錯點提前干預的教學探討[J].福建中學數學，2017（11）：25-27.

作者簡介：

周吉平，浙江省諸暨市，浙江省諸暨市暨陽初級中學。