經典不等式在解題中的重大作用

云南省北辰高級中學 王國海

在高中數學教學過程中，筆者認知了一個又一個不等式。但不等式ex≥1+x與眾不同，堪稱經典，讓我對它情有獨鐘。現在小結一下經典不等式及其變式在導數大題解答中的重大作用，以供大家借鑒。

一、經典不等式（ex≥x+1，x∈R）的證明

圖1

圖2

1.幾何法

由圖1可知，ex≥x+1（x∈R）。

2.代數法

證明：設 f（x）=ex-x-1（x∈ R），則f '（x）=ex-1。令ex-1=0，得x=0。

當x＜0時，f '（x）＜0，此時f（x）單調遞減；當x＞0時，f '（x）＞ 0，此時 f（x）單調遞增。∴ f（x）min= f（0）=0，∴ f（x）≥0，即ex-x-1≥0，∴ex≥x+1（x∈R）。

二、變式（ln（x+1）≤x，x＞-1）的證明及運用

1.證明：若ex≥x+1（x＞-1），則兩邊取自然對數得lnex≥ln（x+1），即x≥ln（x+1），∴ln（x+1）≤x（x＞-1）。

2.母式變形：

（1）對于ln（x+1）≤x（x＞-1），用x-1代替x得lnx≤x-1（x＞0），其幾何意義見圖2（函數y=lnx的圖像不高于函數y=x-1的圖像），進而用代替x得

（2）拓展變形：xlnx≥x-1（x＞0）。

【證明】設 f（x）=xlnx-x+1（x＞ 0），則 f '（x）=lnx。令lnx =0，得 x=1。當x∈（0，1）時，f '（x）＜ 0；當 x∈（1，+ ∞）時，f '（x）＞ 0。∴ f（x）min= f（1）=0，∴ f（x）≥ 0，即xlnx-x+1≥0，∴xlnx≥x-1。

【備注】對于xlnx≥x-1（x＞0），兩邊同時除以x得lnx≥

【應用舉例】（2013全國卷Ⅱ，21）已知函數f（x）=ex-ln（x+m），當m≤2時，證明f（x）＞0。

常規解析：當m≤2時，ln（x+m）≤ln（x+2），故要證f（x）＞0，即ex＞ln（x+m），只需證ex＞ln（x+2）即可。

設g（x）=ex-ln（x+2）（x＞ -2），則在（-2，+∞）上單調遞增，考慮到g '（-1）＜0，g '（0）＞0，故g '（x）在（-2，+∞）上存在唯一實根x0∈（-1，0）。

當x∈（-2，x0）時，g '（x）＜0；當x∈（x0，+∞）時，g '（x）＞0。∴當x=x0時，g（x）min= g（x0），故g（x）≥g（x0）。

由 g '（x0）=0 得， 即 ln（x+2）=-x， ∴ g（x）000，即ex＞ln（x+2），∴ex＞ln（x+m）。∴當m≤2時，f（x）＞0。

利用不等式ln（x+1）≤x（x＞-1）可以得到以下解析：

∵ln（x+1）≤x（x＞-1），∴ln（x+m）≤x+m-1①。當m≤2時，x+m-1≤x+1，∴ln（x+m）≤x+1。又ex≥x+1②，并且①式取等號條件為x=1-m，與②式取等號條件為x=0不盡相同，∴ex＞ln（x+m），即f（x）＞0。故當m≤2時，f（x）＞0。

三、變式（ln（x+1）≥，x＞-1）的證明及運用

【證明】∵ex≥x+1，∴lnex≥ln（x+1），即x≥ln（x+1）（x＞-1）。令，得。∵x＞-1，∴t＞-1。用代替x得，即再用x代替t，便得

【應用舉例】（2006全國卷Ⅱ，20）設函數（fx）=（1+x）ln（1+x），若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數a的取值范圍。

常規解析：設g（x）=（1+x）ln（1+x）-ax（x≥ 0），則 g'（x）=ln（1+x）+1- a。當a≤1時，對所有的x≥0恒有g'（x）≥0成立，此時g（x）在[0， +∞）上單調遞增。∴g（x）≥g（0）=0，即f（x）≥ax。故a≤1符合題意。

當a＞1時，令g'（x）=0，得x=ea-1-1。當x∈（0，ea-1-1）時，g'（x）＜0，此時g（x）在[0，ea-1-1）上單調遞減，∴g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax。故a＜1不合題意。

綜上得，a的取值范圍是（-∞，1]。

經驗證知，當x=0時，a≤1能使不等式f（x）≥ax恒成立。

綜上得，a的取值范圍是（-∞，1]。

據此不難看出，經典不等式在解題中具有重大作用。以上內容希望對讀者有所幫助，同時希望大家都能成功！