合理去除難題“討厭點”，獲得破解方法

安徽省淮北市濉溪縣第二中學 閆傳家

含參的函數零點是近幾年全國各地高考壓軸題常選的熱點背景，這其中又以尋找正（負）值點為其主要考查方式，也是其中的難點，絕大多數考生對此束手無策。如何幫助他們解決這個問題，這是本文的研究核心。

筆者用多年的時間，做了近幾年全國各地的高考真題和模擬題，發現很多省市的高考試卷和模擬卷都以含參的函數問題作為壓軸題，題目難度很大，很多學生對最后一問沒有絲毫思路。結合自己多年教學經驗以及和學生、同事的探討和反思，逐漸發現一種難題轉化和化規的方法，合理去除難題的“討厭點”，從而獲得題目的解題思路的方法。本文以2016年全國卷Ⅰ理科第21題為引例，介紹這種思維方法。

本題是以導數為背景的尋找正值點的函數不等式問題，較為常規，但對學生的思維能力及運算能力要求較高。利用分離變量的方法處理，需要用到大學知識，會被較大扣分；而結合函數的極限和圖像，又因達不到原題對思維能力的考查效果，也會被嚴重扣分。筆者結合自己的做題情況、和同事的交流及學生的現場反應，尋找到一種相對有效的思維方法，下面進行詳細闡述。

那么我們有這樣幾個想法：

此時 0＜ex＜1，故而。此時方程的判別式Δ=（1-2a）2-4a（a-2）=4a+1＞0恒成立，故方程有兩個不相等的實數根：此時只需要限定且滿足，即由兩次函數的單調性，可得，從而有兩個零點，問題得以解決。

想法2：能不能在上一步的基礎上，進一步放縮，讓函數變得更漂亮呢？接上一想法：

想法3：我們的“討厭點”還可集中在ex和參數上，這兩個都是我們難處理的點。

此時，

以上三個想法的關鍵在于：找到難題核心的“討厭點”，利用平時在做題中積累的“好函數”，結合函數的放縮法，去掉難題的討厭點，獲得完美的解決方法。

通過從多個不同的角度合理去除難題的“討厭點”，巧妙地獲得了該題的解決方法，多角度出發，多方面求解，真正體現對數學知識的融會貫通，充分地體現知識的交匯與綜合，從而提升了學生的思維能力以及猜想能力。希望通過本文的表述，能讓學生對于難題少些畏懼，勇于嘗試去掉“討厭點”，獲得真正的思維能力提升。