數形結合法在數學解題中的應用

喀什大學 帕孜麗亞·阿卜杜賽米

數學是一切自然科學的基礎。美國心理學家布魯納曾說過：“掌握數學思想是理解和記憶數學的鑰匙，領會數學思想是提升學生數學能力的前進方向。”在整個高中數學體系中，函數和方程貫穿始末，它含有豐富的數學思想內容，其中數形結合思想占有重要地位。在教學過程中，對數形結合思想進行探索，掌握函數和方程的理論知識，通過對函數和方程問題的求解，對于開發學生智力，培養學生的數學能力都具有重要的意義。

數形結合法是解決數學問題最常用的方法之一，其源遠流長，應用極其廣泛。著名數學家華羅庚曾指出“數缺形時少直觀，形少數時難入微”的數形結合的理念，其本質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，極大地拓寬了解題思路，使復雜問題簡單明了，讓學生很快從直觀的圖形中了解數學語言的意思，既節約了時間，又有更強烈的說服力，所以，數形結合法一直沿用至今，仍讓人稱贊不已。

為了很好地表述數形結合法的運用，下面的例題是經過多年教學實踐總結出來的典型例題，足以說明數形結合的廣泛運用。

一、對稱問題的數形結合法

對稱問題一直是圓錐曲線的常用問題，對于解決圓錐曲線問題，結合圖形是非常有效且直觀的辦法，有利于學生清楚地知道解題的目的。

二、函數的數形結合

函數是數學的核心，貫穿整個數學課程，也是最難的內容之一，解決函數問題一直是學生的重點，利用數形結合的方式解決更是快捷，能直觀地把抽象的文字敘述轉為圖形表達。

例：實系數一元二次方程x2+ax+2b=0有兩個根，一個根在區間（0，1）內，另一個根在區間（1，2）內，求點（a，b）對應的區域的面積。

思路精析：列出a，b滿足的條件→畫出點(a，b)對應的區域→求面積。

解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區間（0，1）和（1，2）上的幾何意義分別是：函數y=f(x)=x2+ax+2b的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區間（0，1）和（1，2）內，

∴在如圖所示的坐標平面內，滿足條件的點(a，b)對應的平面區域為△ABC（不包括邊界）。

假如遇到一些題目中的等式或者代數式有幾何特征，數形結合便是我們可以運用的解題方法，這就是幾何法求解，比較常見的對應有：

通過對題目的閱讀解析，掌握常見的數與形的對應類型，我們便可以用數形結合的方法解題，久而久之，我們便能更加嫻熟地掌握這種解題方法。

三、數形結合在解析幾何的應用

（1）在解析幾何的應用中，我們常常要用到解析法，這個方法我們又稱之為以數輔形，它是數形結合思想中一個非常重要的方面。當解析法與幾何法結合來解題的時候，會有更大的功效。

（2）此類題目的求解要結合該類圖形的幾何性質，將條件信息或結論信息結合在一起，觀察圖形特征，轉化為代數語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決。

四、數形結合在立體幾何中的應用

（1）在立體幾何的應用中，我們經常會遇見一些空間角及位置關系中的平行、垂直及點的空間位置這樣的問題，此時我們便可以用空間向量來解決。我們可以先盡可能地建立空間直角坐標系，然后通過轉化為坐標運算的方式來證明題目所要求的問題。

（2）立體幾何問題的求解往往要將題目所給信息先轉換成幾何圖形性質，結合該類圖形的幾何性質，將條件信息和結論信息結合在一起，觀察圖形特征，為代數法求解找到突破口。

“數”與“形”作為數學中最古老、最重要的兩個方面，一直就是一對矛盾體。正如華羅庚先生曾說過：“數與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”寥寥數語，把數形結合之妙說得淋漓盡致。