凸顯核心素養價值，培養數學思維能力
——以《探索勾股數——像數學家一樣思考》為例

浙江省杭州市桐廬縣舊縣中心學校 葉玉娣

2018年10月17日，富陽區永興學校初中部開展了主題為“基于數學素養發展的初中拓展課程的構建與實施”的研修活動，我有幸參加了此次活動。活動先安排永興中學的兩位老師各上了一節展示課，其中段春炳老師上的一節《探索勾股數——像數學家一樣思考》讓我印象很深。段老師從學生已有的認知（剛剛學完的勾股定理）出發，引導學生進行研究性學習，引導學生走向思維的深度，從而提升學生的思維能力。

一、課堂教學實錄

（一）引出研究課題

1.讓學生觀察“普林斯頓322號泥板”，根據所學的歷史知識猜猜該泥板來源于哪個文明古國及其大致的年代和出土的地點。

問題剛提出，一位男生踴躍舉手發言：“上面記載的文字屬古巴比倫語，可推測所屬年代在公元前1600年以前。”（這一問一答使我們在場的所有聽課老師都唏噓不已，激發了學生和老師的學習興趣）

2.泥板上有三列文字，沒有人能解釋。直至1945年，Neugebauer和Sachs經過細心考究，發現泥板上是三列數字。你知道這些數字與直角三角形的關系嗎？借助計算器進行探索。

a b c 120 119 169………72 65 97………60 45 75………240 161 289 2700 1771 3229 90 56 106

學生通過動手實踐、自主探索、合作交流，學生發現表格中同一行的三個數字恰構成一組勾股數。教師及時給予鼓勵，表揚學生個個都是未來的數學家，激發了學生的求知欲和探索精神。

3.教師詢問學生：用什么方法判斷60，45，75是一組勾股數？

學生1：用平方和計算，驗證602+452是否等于752。

學生2：用平方差公式計算：752-452=（75+45）（75-45）=120×30=3600=602。

學生3：45，60，75是勾股數3，4，5的15倍。

通過比較，學生能感受到后兩種計算方法更加簡單快捷，激勵自己應當提高運算能力，理解運算的算理，發展思維能力（為后面的規律推理埋下伏筆）。

（二）觀察與探究

1.組織學生說出知道的勾股數。（先小組合作，再班級交流）

學生列舉的勾股數（學生列舉是無序的，為了便于發現規律，老師的書寫是有規律的，如下表）

a 2+ b 2= c 2 a 2+ b 2= c 2 a 2+ b 2= c 2 4， 5 6，8，10 20，21，29 5，12，13 8，15，17 …7，24，25 12，35，37 9，40，41 …11，60，61…

2.觀察這些勾股數，你有什么發現（規律）？

學生提出了一些想法：（1）第一列：當a是奇數時，c-b=1;（2）第二列：當a是偶數時，c-b=2;（3）a、b、c不能都是奇數……

3.根據你的發現，是否能寫出更多的勾股數？學生推理：（1）當a是奇數時，c-b=1 ①，

∵ c2-b2=a2，即（c+b）(c-b)= a2，

∴c+b=a2②，

師生共同歸納兩種求勾股數的公式：

4.你是否可以提出其他新的問題？

學生1：勾股數3，4，5是我們最常用的勾股數，也很特別，因為是連續的三個正整數，這樣的勾股數是否是唯一的？

學生2推理：假設m-1，m，m+1是三個連續的正整數，且是一組勾股數，那么（m-1）2+m2=（m+1）2，整理得：m2-4m=0，解得m1=0（舍去），m2=4，所以三個連續正整數的勾股數只有3，4，5這唯一一組。

5.是否能夠得到所有勾股數的公式（或方法）？

勾股數又稱商高數，它有無數組，是有一定規律的。比如有一組求勾股數的式子：a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2（其中m，n為正整數，且m＞n）。你能驗證它嗎？

解：∵ a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2，

∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2，

∴a2+b2=c2。

故a，b，c為勾股數。

利用這組式子，完成下表：

其實，任意一組勾股數（a，b，c）可以表示為如下形式：a=k（m2-n2），b=2kmn，c=k（m2+n2），其中，k，m，n均為正整數，且m＞n。

（三）學習數學家的智慧

提供相關史料，組織引導學生閱讀理解數學家的思考方法：

1.幾何代數法：畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里得、劉徽基于不同文化背景的巧妙設計。

2.丟番圖巧妙的代數圖形方案已脫離幾何，走向代數學。

介紹古希臘數學家畢達哥拉斯（約公元前580年～500年）的證明方法：

如圖：∵1+3+5+7+……+（2n-1）=n2，

∴ 1+3+5+7+……+（2n-1）+（2n+1）=（n+1）2，

∴ n2+（2n+1）=（n+1）2。

令2n+1=m2，

則 n2+m2=（n+1）2，

整理得：n2+m2=n2+2n+1，

讓學生感受數學家的智慧，學習像數學家一樣思考，增加學習數學的興趣，培養正確的思維方式，提升思維能力。

（四）概括整理 感悟提升

我們要努力學習，接過數學家手中的接力棒，讓數學之路越走越遠！

二、感悟

經過這次研修活動，深感自己肩上的責任重大，深感自己專業素養不足。相比較，我的數學課堂教學只是為了讓學生應付升學考試，沒有把數學本身的學科意義滲透到學生的思維品質里。對教材里的拓展性課程視而不見，教師越教越死，學生越學越死，對數學學習失去興趣、失去信心。所以，作為數學老師，我們要轉變觀念，除了教知識，更要去思考如何培養學生的數學素養，特別是如何在課堂教學中體現與落實數學核心素養，培養思維能力。

首都師范大學數學科學學院教授，博士生導師王尚志教授曾經舉過一個發人深省的例子：一所“985”高校，學生的高考數學平均分在125分以上，入學后的10月份組織學生做做過的高考題目的考試，平均分降到100分；到同一年的12月再考一次同樣的題目，平均分只有及格。這個例子說明很多題目學生做過就忘了，考那樣的題目，沒有多大的積極意義，學生的能力并沒有得到真實的提高。這也告訴我們生活中絕大多數人畢業后如果不從事數學專業工作，便不再記得那些數學公式、定理、解題方法，所以我們數學老師應該思考的問題是關注學生能否用數學的思維方法去解決生活中的實際問題，這才是社會發展真正需要的數學教育。

（一）什么是核心素養

林崇德教授及其團隊曾做了這樣的描述：核心素養是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。

（二）什么是數學核心素養

數學核心素養是具有數學基本特征的適應個人終身發展和社會發展需要的人的關鍵能力與思維品質。不嚴格地說，數學核心素養不僅包含外顯能力，還包含內在思維品質。例如在數學方面，可以解決一個問題或解答一個題目，但對解決問題思想的理解深度是有差別的。前者體現出能力，記憶或模仿也可以幫助解決問題，后者反映出思維品質，內在地、持續地發揮作用。

（三）如何在數學課堂教學中落實核心素養

既然核心素養是一種能力、一種思維品質，那么核心素養的養成就不能依賴單純的記憶和模仿，而應當依賴感悟和思考，所以核心素養的培養就是思維能力的培養。我們老師應該在核心素養的視角下，以數學知識為載體，以數學概念的內在邏輯為線索，精心選擇學習素材，構建學習情境，設計符合學生認知規律的、自然而目標明確的系列數學活動。引導學生通過多樣化的學習方式，讓學生在掌握所學知識技能的同時，也能感悟知識的來龍去脈，形成思維能力。這一點段老師給我們起了一個很好的示范和引領，下面是我通過聽課后的一些粗淺想法，不知道有沒有領悟到段老師的真諦。

1.激發學生的思維活動

課標中指出：義務教育階段數學課程的設計，應充分考慮本階段學生數學學習的特點，符合學生的認知規律和心理特征，應設計有利于激發學生的好奇心和求知欲的數學活動。

在環節（一）中，段老師要求學生對“普林斯頓322號泥板”做一個經驗性的判斷。這一設計不僅激發了學生的學習興趣和求知欲望，也給我們所有聽課的老師普及了課外知識。另一方面也讓學生了解到數學知識都是經過歷史積淀，通過問題、猜想、論證、檢驗、完善等過程一步一步成熟起來的。

2.點燃學生的思維火花

課標中指出：義務教育階段數學課程的設計應重視學生已有的經驗，設計符合學生認知規律，有利于引發學生思考的數學問題。學生的學習應當是一個生動的、主動的和富有個性的過程。認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式。學生應當有足夠多的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。在呈現作為知識和技能的數學結果的同時，應使學生體驗構建數學模型、尋求結果、解決問題的思維過程。

在環節（二）中，段老師設置了5個問題，從學生剛剛學完的勾股定理出發，讓學生經歷了觀察（熟悉的勾股數）、發現或猜想（關于勾股數的一些規律）、驗證或證明的過程。在這些過程中，學生的思維被層層打開，引導學生進行研究性學習和引導學生走向深度學習。老師要多問幾個為什么，提高學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力，培養學生思維能力的深刻性。

3.提升學生的思維深度

課標明確提出要使學生初步了解數學產生與發展的過程，體會數學對人類文明發展的作用。介紹必要的數學史知識可以使學生在平時的學習中對所學問題的背景產生更加深入的理解。古代數學家的思維方式可以作為一種學習資源，能激發學生的學習興趣。在解決問題的過程中感受數學家的艱辛，學習數學家堅持不懈的品質。

在環節（三）中，段老師組織引導學生閱讀理解數學家畢達哥拉斯的思考方法，培養學生幾何直觀的能力，感受數學家的智慧，學習像數學家一樣思考，培養吃苦耐勞的精神，培養正確的數學思維方式，提升學生思維的廣度和深度。

整堂課在段老師的引領下“談古論今”，在解決一個又一個數學問題的同時，讓我們感受到老師較高的專業素養。段老師鼓勵學生要努力學習，從容地接過數學家手中的接力棒，無一不在培養學生的思維品質。所以如何在核心素養的視角下培養學生的思維能力，關鍵在于提高教師的專業素養。試想我們的數學課堂每次都在自己預設的框架中進行，學生的思維被桎梏得死死地，怎能提升學生的思維能力？試想一位老師都害怕學生在課堂上提出一些自己都沒有想到的問題，而不能從容面對，那學生又如何能信服于你？試想一位老師連最基本的數學史都不了解，不清楚知識的來龍去脈，那又如何來更好地引導學生的學習，開發學生的思維廣度呢？所以人們常說：“給學生一杯水，教師要有一桶水、一缸水甚至一江水。”比喻教師要教好學生，自己必須有比學生更豐富的知識，所以我們教師平時要不斷地學習，掌握真才實學，才能不“誤人子弟”。

聽了這節課，我覺得教師有良好的數學核心素養是進行核心素養下的數學課堂教學的先決條件，教師要從學生成長的高度去思考教學，注重學生思維能力的培養，幫助學生學會“用數學的眼光看世界”“從數學的角度看問題”“用數學的方法去解決”。