由一道小題看均值不等式解最值問(wèn)題的思路

江蘇省徐州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué) 朱 兵

分析：很多同學(xué)拿到此題后沒(méi)有太好的思路和解決辦法，因?yàn)轭}中的參數(shù)較多，若要求解的最小值，則要通過(guò)題中的單調(diào)遞增條件找到的關(guān)系，想辦法將變量減少。

評(píng)析：此法的關(guān)鍵是將變量c消掉，出現(xiàn)①式的分式結(jié)構(gòu)，恰恰是我們熟悉的分母為一次，分子是二次的可寫(xiě)成部分分式的形式，中間的換元起到化繁為簡(jiǎn)的作用。

思路2：①式可通分處理：

評(píng)析：遇分式通分是常用的化簡(jiǎn)處理手段，同時(shí)體現(xiàn)同學(xué)對(duì)齊次式的處理能力。如果題目中出現(xiàn)關(guān)于的二次齊次式：，那么經(jīng)過(guò)變換經(jīng)常可以出現(xiàn)的式子，這樣既可以簡(jiǎn)化問(wèn)題，又可以出現(xiàn)均值不等式的結(jié)構(gòu)，使問(wèn)題明朗化，尤其是對(duì)于一些用比值表示的量，齊次式常有用武之地。

思路3：由②式可以得：

均值不等式在高考中的考查難度都是中等偏上，許多復(fù)雜的最值問(wèn)題或是不等式的證明問(wèn)題都要通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃翁幚恚憾嘣獑?wèn)題消元，結(jié)構(gòu)復(fù)雜問(wèn)題換元，遇分式問(wèn)題通分出現(xiàn)二次齊次式，創(chuàng)造性使用均值不等式等，從而實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)、巧妙解題的目的。當(dāng)然，這些都需要我們?cè)谄綍r(shí)的日常學(xué)習(xí)中不斷積累、不斷思考、不斷總結(jié)，才能更加熟練地運(yùn)用均值不等式去解決問(wèn)題。