生活中的數(shù)學(xué)問題與教學(xué)中數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)

甘肅省酒泉市第二中學(xué) 楊 瑛

在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如何培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)意識(shí)與利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題是終極目標(biāo)；在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生具備數(shù)學(xué)意識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)思維方法，以數(shù)學(xué)的視角看問題、解決問題，從而以最優(yōu)的方法解決問題并創(chuàng)新是最高境界。

初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)指出：在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)方面要求“逐漸掌握以數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看問題、解決問題，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)理論解決實(shí)際問題，提高創(chuàng)新意識(shí)，增強(qiáng)理論聯(lián)系實(shí)際的能力。”同時(shí)，在我們的日常生活中，像儲(chǔ)蓄、債券、保險(xiǎn)、購(gòu)物、決策更是生活中不可避免的現(xiàn)實(shí)問題，都需要數(shù)學(xué)知識(shí)來解決。而由于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，屬于意識(shí)范疇，處于隱形狀態(tài)，在應(yīng)試教育的當(dāng)下，極易被忽視。而在教材的編排上，卻處處體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)要求和有意識(shí)的應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問題的內(nèi)容。

一、解決數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)意識(shí)

【實(shí)例一】北京師范大學(xué)版數(shù)學(xué)，初二下學(xué)期二單元，一元方程組，第五節(jié)“不等式與一次函數(shù)”一節(jié)例題：東方傳媒公司計(jì)劃在國(guó)慶期間組織員工去胡楊林旅游，參與旅游的人數(shù)共有20 人。目前接觸的A,B 兩個(gè)旅行服務(wù)社的服務(wù)內(nèi)容基本相同，服務(wù)價(jià)格均為200 元/人。經(jīng)過協(xié)商，A 旅行服務(wù)社可以提供的七五折的折扣價(jià)格，B 旅行服務(wù)社給予八折的折扣，并且可以省去其中一人的所有費(fèi)用，問這個(gè)單位選擇哪家這次旅行的花費(fèi)最少，成本最低？這樣的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，文字?jǐn)⑹鲚^長(zhǎng)，沒有明確給出求什么，用什么知識(shí)解決，學(xué)生感到比較難。盡管學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)與一元一次不等式，但想不到用二者聯(lián)合起來去解決問題，缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)。換種問法，把此問題細(xì)化成明確的數(shù)學(xué)問答，如：（1）設(shè)支付的費(fèi)用為y，參與活動(dòng)的人數(shù)是x，分別寫出A，B 兩個(gè)旅行社所支付的成本y 與總?cè)藬?shù)x之間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系式；（2）參加旅游的人數(shù)在什么范圍內(nèi)選A 旅行社費(fèi)用低于B 旅行社？（3）參加旅游的人數(shù)在什么范圍內(nèi)選B 旅行社費(fèi)用低于A 旅行社？（4）會(huì)不會(huì)出現(xiàn)兩家費(fèi)用相同的情況？問題細(xì)化后，學(xué)生會(huì)從總費(fèi)用隨著人數(shù)的變化而變化，想到函數(shù)的思想，從而想到一次函數(shù)的增減性，寫出兩家旅行社與人數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合一元一次不等式求解。解答過程：

設(shè)該單位參與活動(dòng)的總?cè)藬?shù)為x，選擇A 社進(jìn)行服務(wù)時(shí)，所需的成本是y1元，選擇B 社時(shí)，所需的成本是y2元，則：

y1=200×0.75x，即y1=150x，

y2=200×0.8（x-1），即y2=160x-160，

由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16，

由y1＞y2，得150x＞160x-160，解得x＜16，

由y1＜y2得150x＜160x-160，解得x＞16。

通過這樣的實(shí)例，不僅使學(xué)生明白了解決此類問題的數(shù)學(xué)方法，而且學(xué)生把生活中遇到的實(shí)際問題與相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型連接起來，建立了數(shù)學(xué)意識(shí)與思維，提高了同學(xué)們的學(xué)習(xí)能力。

二、解決實(shí)際問題，發(fā)展數(shù)學(xué)意識(shí)

【實(shí)例二】北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第四章《圖形的相似》第六節(jié)，利用三角形相似測(cè)高。根據(jù)旗桿的高度，綜合運(yùn)用三角形相似的判定定理和相似三角形的定義解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)。

1．通過影子計(jì)算旗桿的高度，如圖1

圖1

計(jì)算過程：教師讓一個(gè)學(xué)生在旗桿前站立，陽光照射到學(xué)生與旗桿時(shí)地上形成影子，測(cè)量?jī)啥斡白覤E 與BD 的長(zhǎng)度，如圖2。

圖2

∵光線是平行入射的，∴AE ∥CB，∴∠AEB ＝∠CBD，

經(jīng)過推算得出：通過兩段影子的長(zhǎng)度BE 與DB 以及人的高度AB，我們利用方程得出CD 的長(zhǎng)度，即旗桿的高度。

2．利用標(biāo)桿測(cè)量旗桿的高度

計(jì)算過程：教師讓一名同學(xué)參與解題，教師在學(xué)生與旗桿間插入一根標(biāo)準(zhǔn)桿，桿的長(zhǎng)度預(yù)先已經(jīng)測(cè)量完畢，教師要求學(xué)生不斷移動(dòng)位置，保證學(xué)生的眼睛、旗桿與標(biāo)桿的頂端三者在同一直線上，這時(shí)老師測(cè)量學(xué)生腳分別與標(biāo)桿、旗桿之間的位移，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)桿的長(zhǎng)度以及兩個(gè)位移量，計(jì)算出旗桿的長(zhǎng)度。如圖3。

圖3

如圖3，過點(diǎn)A 作AN ⊥DC 于N，交EF 于M。

提示：∵學(xué)生、標(biāo)準(zhǔn)桿與旗桿都是與水平面垂直的，∴∠ABF＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°，

∴學(xué)生、標(biāo)準(zhǔn)桿、旗桿是相互平行的。

∵EF ∥CN，∴∠1 ＝∠2，∵∠3 ＝∠3，

∵學(xué)生與標(biāo)準(zhǔn)桿的位移、學(xué)生與旗桿的位移，標(biāo)準(zhǔn)桿與學(xué)生高度差異EM 都是已知量，

∴能求出CN，∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°，∴四邊形ABND 所組成的圖形為矩形。

∴DN ＝AB，∴能求出旗桿CD 的高度。

3．利用鏡面反射求解旗桿的高度

操作方法：仍然是讓一名同學(xué)參與，這次學(xué)生與旗桿之間垂直放一面鏡子，要求學(xué)生移動(dòng)自己的位置，直到學(xué)生在鏡子里面可以看見旗桿的頂端。這時(shí)老師測(cè)量出學(xué)生與鏡子的位移以及旗桿與鏡子之間的位移，以此計(jì)算出旗桿的高度。

圖4

∵反射角=入射角，∴∠CED ＝∠AEB，∵學(xué)生、旗桿直立于地面，90 度垂直，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴

經(jīng)過測(cè)量學(xué)生、旗桿與反射鏡子之間的位移，已知學(xué)生的身高，就可以利用方程求出旗桿的高度CD。

初中數(shù)學(xué)教材中編排的實(shí)際問題實(shí)踐活動(dòng)探索課，往往由于受條件的限制與應(yīng)試教育的影響，而被老師忽視或者略過。其實(shí)，實(shí)踐活動(dòng)課是以問題為載體，學(xué)生自己動(dòng)手參與探索求知的過程，是數(shù)學(xué)知識(shí)活化的過程，也是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生遇到實(shí)際問題要有數(shù)學(xué)意識(shí)的關(guān)鍵。

三、遇到問題，思維意識(shí)數(shù)學(xué)化

培養(yǎng)學(xué)生有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)概念、理念和意識(shí)去解決日常實(shí)踐過程中的問題。同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的生活中經(jīng)常碰到一些需要用數(shù)學(xué)知識(shí)來描述的現(xiàn)象。當(dāng)遇到這樣的一些現(xiàn)象時(shí)，學(xué)生若有一定的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，善于從數(shù)學(xué)的角度，利用數(shù)學(xué)思維去表達(dá)與理解這些現(xiàn)象，就會(huì)開啟數(shù)學(xué)奧秘的大門。

例如，在各類比賽活動(dòng)中，評(píng)委人數(shù)一般是奇數(shù)，并且最后得分總是去掉一個(gè)最高分與一個(gè)最低分，然后求其他數(shù)據(jù)的平均數(shù)，這樣做的原因是什么？學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)據(jù)的分析與整理，了解了平均數(shù)，中位數(shù)等知識(shí)后，就能有意識(shí)地去運(yùn)用這些知識(shí)去分析這一現(xiàn)象，并能給出合理的解釋，實(shí)際上就是體現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。再解決“在兩個(gè)汽車站之間，怎樣設(shè)加油站的位置，使得到兩個(gè)汽車站的距離最小”這樣的問題時(shí)，同學(xué)們就會(huì)在腦海中浮現(xiàn)，關(guān)于最短路問題的數(shù)學(xué)理論。在學(xué)生的思維模式中滲透數(shù)學(xué)意識(shí)，使學(xué)生建立起應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的數(shù)學(xué)意識(shí)，學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的目的自然就達(dá)到了。

數(shù)學(xué)思維是通過數(shù)學(xué)的視角，以數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來探索生活中與數(shù)字、空間幾何有關(guān)的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)問題以及人們的心理活動(dòng)與思想意識(shí)上的反映。在數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，要抓住教材這一載體，滲透建立激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。