生活中的指數函數

河南省林州市經濟管理學校 李慶恩

指數函數在自然科學、經濟生活、生物學等科學領域中有著廣泛的應用。在教學中貫徹以人為本的教學理念，培養學生的數學應用意識和應用數學的職業能力，彰顯職教特色。學生通過對指數運算的探索和實踐，對應用數學產生了濃厚的學習興趣。

教學重點：培養學生分析解決問題的能力和運用數學的意識是本節的重點。

數學知識儲備：乘法 3 的2 倍寫成 3×2=6

乘方 2×2×2=23=8

實驗：有一張厚度是0.1mm 且足夠大的紙，如果將它連續對折20 次，它有多厚?

分析：第一次對折厚度是0.1×2=0.2mm 第二次就是0.1×4=0.1×22mm，第三次就是0.1×8=0.1×23mm，每次厚度都是前一次的兩倍，折20 次，厚度是0.1×220 mm，就是104857.6mm，是104.8576 m，假設1 層樓高3m，就是34.95 層樓那么高。這是指數的魅力！

一、應用于經濟學

例：某市2008 年國內生產總值為20 億元，計劃在未來10 年內，平均每年按8%的增長率增長，預測該市2018 年的國內生產總值（精確到0.01 億元）。

分析：國內生產總值每年按8%增長是指每一年的國內生產總值是前一年的(1+8%)倍。

則1 年后生產總值是20×1.08 億元，2 年后生產總值是20×1.082億元，3 年后生產總值是20×1.083億元。

所以10 年后2018 年的國內生產總值為20×1.0810≈ 43.18（億元）。

假想應用所學知識：如果你今年才25 歲，每年投資1.8 萬元，堅持紅利再投資，年收益率是10%，按復利計算，你25 年后（50 歲時）將擁有187 萬元，35 年后（60 歲時）將擁有492 萬元，你退休時就不用擔心養老金的不足了。數學使人理智，數學使人聰明。

二、社會學應用

用來預測人口增長，早在1798 年，英國經濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態下的人口增長模型：y=y0ert，其中t 表示經過的時間，y0表示t=0 時的人口數，r 表示人口的年平均增長率，e ≈2.72，下表是1950～1959 年我國的人口數據資料：（單位：萬人）

年份 1950 1951 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959人數 55196 56300 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207

按表中的增長趨勢，求大約在哪一年我國人口將達到13 億。

我國這一時期的人口增長函數模型為y=5.5196e0.0221t，(0 ≤ t≤10)。令y=13，則 13=5.5196e0.0221t，得到 t ≈39，即在1989 年我國人口將達到13 億。實際上我國人口到2000 年才達到13 億。學生由此認識到當時我國實行計劃生育的必要性。

三、應用于生活

要想將衣服漂洗干凈，借用數學知識，方顯智慧和能力。

四、應用于生物學、醫學

1.某種細胞分裂時，由一個分裂成2 個，2 個分裂成4 個……一直分裂下去。寫出得到的細胞個數y 與分裂次數n 之間的關系式，試求細胞分裂20 次后的細胞個數。

分析：分裂一次，細胞個數是2=21，分裂二次是4=22，分裂三次是8=23，所以細胞個數y 與分裂次數n 之間的關系式是y=2n，細胞分裂20 次得到的細胞個數為220=1048576。答案彰顯指數魅力。

2.為了檢驗X 射線的殺菌作用，用200 千伏的X 射線來照射細菌，每次照射6 分鐘，照射次數記為t，共照射8 次，各次照射后所剩細菌數為y，統計如下：

t 1 2 3 4 5 6 7 8 y 355 197 142 104 56 36 21 15

試問：（1）如果照射10 次，細菌數是多少？

由上表得出細菌減少近似服從指數衰減模型，y=abx，a=547.03，b=0.636，x=10 時，y1≈6（個）。

（2）如果把細菌數控制在4 以下，至少照幾次？

x=11 時，y2＜4，所以至少照11 次。

五、應用于考古學、環境保護

1.碳-14 的半衰期是5730 年，馬王堆漢墓女尸出土時碳-14的殘余量約占原始量的76.7%。試計算一下馬王堆漢墓的大致年代。

分析：經1 個時間段5730 年碳-14 的殘余量剩留50%，2 個5730 年剩留（50%）2，3 個5730 年剩留（50%）3，則設x 個5730年剩：（50%）x=76.7%，x=0.3827 個（5730 年）， 則馬王堆漢墓的大致年代是0.3827×5730 ≈2193 年。指數知識的應用，讓我們向前遙知遠古，向后預測未來！

2.核泄漏。日本核泄漏放射性元素中就有碘-131，如果攝入過多的碘-131，會引起甲狀腺疾病。放射性碘-131，半衰期8 天，具有揮發性，能夠通過空氣傳送，危害范圍比較廣泛。以碘-131 為例，探討它的危害性與時間的關系。

碘-131在環境中的剩留量符合指數衰減模型，經過10個八天后，它的殘留量為1×0.510 ≈0.00098，八十天后碘-131 剩余量是原來的0.098%。數學告訴我們，危險總會過去，時間是制勝法寶。

將數學知識應用于生活生產，形成學生的職業能力，提升學生的智慧，是應用數學的樂趣。