一類三階矩陣特征向量的特殊求法

江蘇省南通理工學院基礎教學學院 王欣欣

柯朗曾說：“分析和構造是數學的基本要素之一,正是互相對立力量的相互作用才構成了數學學科的生命和崇高價值。”由此可見，創造性的推理活動在數學的思維過程中是非常必要的，它可以使我們更深刻地理解數學，進而擁有建構數學對象的方法。而數學對于同一類問題，有時會賦予人們不同的解決方式，從而吸引人們去發掘和探索其未知天空的廣袤。

矩陣理論作為數學的一個重要分支，具有極為豐富的內容。其中，大部分科學與工程問題都可以歸結為矩陣計算的問題，對于求解矩陣的特征向量，常規方法為解方程組（λE-A）x=0，而不同的學者對于這類問題提出了自己的見解。文獻[3]中，通過對給定矩陣的多項式函數和種子向量進行分析，直接求得矩陣的特征向量。文獻[4]中，通過對特征矩陣進行初等變換,給出了矩陣的特征根和特征向量的同步求法。本文則采用行列式的方法求解一類三階矩陣的特征向量。

一、相關定理

定理1 若λ1≠λ2≠λ3，則先求矩陣A 的對應于特征值λ1=α 的一個特征向量，則對于λ2=β，λ3=γ 對應的特征向量求法類似。

由于特征向量為非零向量，故可以分以下三種情況：

（1） 若以下三個條件同時滿足：

則A 的對應于λ1=α 的一個特征向量為：

（2）若以下三個條件同時滿足：

則A 的對應于λ1=α 的一個特征向量為：

（3）若以下三個條件同時滿足：

則A 的對應于λ1=α 的一個特征向量為：

注：如果（1）（2）（3）同時滿足，那么任選其一作為相應的特征向量即可，其結果是相同的。

以下給出（1）的證明，而對于（2）（3）的證明與（1）類似，在此不再贅述。

其特征值為λ1=α，λ2=β，λ3=γ，且。

若同時滿足定理1 中（1）的三個條件，則對應于特征值λ1=α 的特征向量應為：

由式（4）以及λ1=α 為A 的特征值可得：

則（10）式可變為：

定理2 若λ1=α，λ2=λ3=β，且時，求對應于λ1=α 的一個特征向量的方法同定理1，對應于λ2=λ3=β的特征向量分以下兩種情況：

定理3 若λ1=λ2=λ3=α，求對應于λ1=α 的一個特征向量的方法分以下兩種情況：

二、例題

解：A 的特征多項式為：

所以A 的特征值為λ1=0，λ2=-1，λ3=1。

應用定理1 可得：

則A 的對應于特征值λ1的一個特征向量為：

則A 的對應于特征值λ2的一個特征向量為：

則A 的對應于特征值λ3的一個特征向量為：

解：A 的特征多項式為：

所以A 的特征值為λ1=2，λ2=λ3=1。

應用定理2 可得：

則A 的對應于特征值λ1的一個特征向量為：

則A 的對應于特征值λ2的一個特征向量為：

解：A 的特征多項式為：

所以A 的特征值為λ1=λ2=λ3=-1。，滿足定理3 中的（1）。

則A 的對應于特征值λ1的一個特征向量為：

解：A 的特征多項式為：

則A 的對應于特征值λ1一個特征向量為：

則A 的對應于特征值λ3的一個特征向量為：

則A 的對應于特征值λ3的一個特征向量為：