雙攔截彈攔截單目標邊界型微分對策制導律研究*

張 帥，朱東方，孫 俊，華 春，劉延芳

(1. 航空工業哈爾濱飛機工業集團有限責任公司·哈爾濱·150066；2. 上海航天控制技術研究所·上海·201109；3. 上海航天信息研究所·上海·201109；4. 哈爾濱工業大學 航天學院·哈爾濱·150001)

0 引 言

未來的新型空襲武器，如戰術彈道導彈(Tactical Ballistic Missile，TBM)、高超聲速巡航導彈(Supersonic Cruise Missile，SCM)和無人駕駛飛行器(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)等，具有飛行速度快、機動能力強等特點[1]。在攔截這類目標時，攔截彈在速度、機動能力、過載響應速度等方面不再具有明顯的優勢。同時，由于這類新型目標的結構尺寸小、結構強度高，要對其進行成功攔截需要實現很小的脫靶量，甚至需要通過直接碰撞將其摧毀(Hit to Kill)。

為提高成功攔截的概率，一方面需要采用先進的制導、控制系統，提高單發命中概率(Single Shot Kill Probability，SSKP)；另一方面，可以采用同時發射多枚攔截彈的方式完成攔截。本文主要對后者進行了研究。

微分對策理論是在古典對策理論和最優控制理論相結合的基礎上，研究雙方或多方最優對抗策略的理論[1]，其被廣泛應用于攔截彈制導律的設計[2-9]。Gutman S 指出，比例導引(Proportional Navigation，PN)制導律是一種在對抗雙方都具有理想側向動力學特性假設下的線性二次型微分對策(Linear Quadratic Differential Game，LQDG)制導律[3]，他同時給出了同樣假設下、對抗雙方控制受限條件下的邊界型微分對策(Bounded Differential Game，BDG)制導律[4]。Shinar J等將BDG制導律擴展到了包含攔截彈一階動力學特性(DGL/0)[5]和目標一階動力學特性(DGL/1)[6-7]的模型上。考慮對目標狀態估計的延遲、速度和速度剖面的時變特性，Shinar J和 Shima T等提出了DGL/C[5,8]、DGL/E[9]和DGL/EC[10]制導律。李云遷等針對新型攔截彈，將復合控制引入到了微分對策制導律中[11-12]。劉延芳等針對大初始航向誤差時的角度非線性，提出了非線性微分對策制導律[13]。劉長有等[14]采用強迫奇異攝動給出了非線性微分對策次最優反饋制導律。

然而，以上文獻中提出的制導律針對的是一對一攔截問題。在多彈攔截問題中，新攔截彈的加入使得對策模型復雜化，演變為“多對一追蹤-逃逸”問題。Perelman A等基于零和(Zero-Sum)理論提出了協同二次型微分對策(Cooperative Linear Quadratic Differential Game，CLQDG)制導律[15-16]。該制導律針對的是航空器通過發射防護導彈來躲避來襲攔截彈攻擊的兩組三體最優策略問題：攔截彈追蹤航空器，航空器躲避來襲攔截彈，防護導彈試圖摧毀攔截彈。針對同樣的問題，Shima T在攻擊導彈采用線性制導律、線性化運動學和完全信息的假設下給出了最優合作追蹤-逃逸策略[17]。然而，該問題與多彈攔截問題有很大的不同。彭琛等研究了飽和攻擊多彈分布協同末制導問題[18]，但此問題并不適用于多彈攔截問題。Foley A M給出了非零和多對一對策問題的基本模型和最優策略[19-20]，Lin W給出了在擁有局部信息時的多對一對策問題的納什平衡策略(Nash Equilibrium Strategy, NESS)[21]。

本文針對兩枚攔截彈攔截單目標的末段制導問題，將其建模為非零和二對一追蹤-逃逸對策模型，采用微分對策理論給出BDG制導律，并對該制導律的性能進行分析。

1 系統建模

1.1 多彈攔截問題

在末制導段，2枚攔截彈P、Q和目標T的三維相對運動可以分解到2個正交平面內，本文僅對俯仰平面內的運動進行了研究。為簡化分析，采用如下假設[1-5,7-8]：

(1)攔截彈和目標的速度為常值；

(2)攔截彈和目標可以獲得彼此的精確信息；

(3)攔截彈和目標的相對運動可以在初始視線附近實現線性化；

(4)忽略由于攔截彈和目標高度不同帶來的重力加速的影響；

(5)攔截彈和目標的自動駕駛儀具有理想的動力學響應(零階延遲)。

末制導段俯仰平面內攔截彈和目標間的相對運動如圖1所示。其中，V、a和γ分別表示速度、加速度和航跡角；λ和r分別表示視線角和彈目距離；y表示在垂直視線方向上，目標與攔截彈之間的相對距離；下標P、Q和T分別表示攔截彈P、Q和目標T，PT表示P和T之間的對抗，QT表示Q和T之間的對抗，0表示初始時刻。

圖1 末制導段攔截彈和目標間的幾何關系Fig.1 Geometry of end-game guidance

(1)

其中

(2)

基于假設1)、3)，在給定的初始條件下，對抗PT和QT的結束時間可以近似計算為

(3)

滿足

tf,PT>tf,QT

(4)

其中，φ為前置角，定義為

(5)

本文主要對迎向攔截[12]進行研究，對于迎向攔截，前置角滿足關系

-π/2<φi<π/2,i∈{P,Q,PT,QT}

(6)

將攔截的結束時間定義為

tf=tf,PT

(7)

攔截彈和目標的最大加速度受限，為避免控制飽和，有

|ui|

(8)

1.2 對策模型

ZEM表示從當前時刻(攔截彈和目標都不再輸出指令時)至末制導結束時的脫靶量的大小。應用狀態轉移矩陣，ZEM矢量可以表示為

z(t)=DΦ(tf,t)x(t)

(9)

其中，狀態轉移矩陣為

D為常值矩陣,為

將式(9)對時間求導可以得到ZEM動態為

(10)

其中，

假設2枚攔截彈完全一致且攔截過程相互獨立，每一枚攔截彈都控制自己的脫靶量使其達到最小，而目標選擇使最小脫靶量最大的控制策略，因此攔截彈和目標的目標函數為

(11)

將狀態方程(1)、約束方程(8)和目標函數(11)定義的非零和二對一追蹤-逃逸對策模型表示為G。

2 納什平衡策略

(12)

使三個不等式對所有的容許控制uP、uQ和uT都成立，則該策略集稱為G的納什平衡策略。

2.1 伴隨模型及求解

由于式(11)中目標的性能函數不連續，為了應用現有理論進行求解，重新定義連續的性能函數為

(13)

(14)

(15)

協變量滿足

(16)

最優控制策略為

(17)

其中

將開環最優策略(15)代入式(9)，可得到最優零控脫靶量動態

(18)

2.2 攔截空間及最優策略

定義2：ZEM矢量z(t)的集合稱為攔截空間S，即

S={z(t)}

(19)

2.2.1 P-攔截空間

定義3：滿足

的ZEM矢量組成的攔截空間S的子空間稱為P-攔截空間，即有

(20)

定理1：如果滿足z(t)∈SP，當κ=1時式(17)是對策模型G的納什平衡策略。

(21)

因此，為證明式(17)是G的納什平衡策略，只需要對式(12)中的第三式進行驗證。

當κ=1時，

(22)

將式(17)代入式(10)，可以得到

(23)

由z(t)∈SP，可以得到|zP(tf)|<|zQ(tf)|，因此有

(24)

假設攔截彈P和Q采用式(17)的策略，而目標采用任意容許策略uT，此時有三種可能的結果

a) |zP(tf)|>|zQ(tf)|，此時有

(25)

結合式(22)、(24)和(25)，可以得到

(26)

對于情況b)|zP(tf)|=|zQ(tf)|和c)|zP(tf)|<|zQ(tf)|，同樣可以得到式(26)成立，即式(12)第三式得到驗證。因此，如果滿足z(t)∈SP，當κ=1時，式(17)是對策模型G的納什平衡策略，定理得證。

在P-攔截空間里，結合式(20)和式(23)，可以得到

signz(t)=signz(tf)

(27)

因此，最優反饋制導律為

(28)

2.2.2 Q-攔截空間

定義4：滿足

的由ZEM矢量組成的攔截空間S的子空間稱為Q-攔截空間，即有

(29)

定理2：如果滿足z(t)∈SQ，當κ=0時，式(17)是對策模型G的納什平衡策略。

證明：同定理1，這里只需要對式(12)中的第三式進行驗證。

當κ=0時，

(30)

將式(17)代入式(10)，可以得到

(31)

由z(t)∈SQ，可以得到|zP(tf)|>|zQ(tf)|，因此有

(32)

假設攔截彈P和Q采用式(17)的策略，而目標采用任意容許策略，此時有三種可能的結果

a)|zP(tf)|>|zQ(tf)|，此時有

(33)

結合式(30)、(32)和(33)，可以得到

(34)

對于情況b)|zP(tf)|=|zQ(tf)|和c)|zP(tf)|<|zQ(tf)|，同樣可以得到式(34)成立，即式(12)第三式得到驗證。因此，如果滿足z(t)∈SQ，當κ=0時，式(17)是對策模型的納什平衡策略。定理得證。

在Q-攔截空間里，結合式(29)和式(31)可以得到

signz(t)=signz(tf)

(35)

因此，最優反饋制導律為

(36)

2.2.3 PQ-攔截空間

定義5：存在0<κ<1使得在式(17)策略的作用下終端零控脫靶量滿足zP(tf)=zQ(tf)的攔截空間的子空間稱為PQ-攔截空間，即有

SPQ={z(t)|?0<κ<1,zP(tf)=zQ(tf)}

(37)

定理3：如果滿足z(t)∈SPQ，當κ滿足|zP(tf)|=|zQ(tf)|時，式(17)是對策模型G的納什平衡策略。

證明：同定理1，這里只需要對式(12)中的第三式進行驗證。

根據PQ-攔截空間的定義，當z(t)∈SPQ時，|zP(tf)|=|zQ(tf)|，因此有

(38)

假設攔截彈P和Q采用式(17)的策略，而目標采用任意容許策略uT，此時有三種可能的結果：

情況a)為 |zP(tf)|>|zQ(tf)|，此時有

(39)

結合式(38)和(39)，可以得到

(40)

對于情況b)|zP(tf)|=|zQ(tf)|和情況c)|zP(tf)|<|zQ(tf)|，同樣可以得到式(40)成立，即式(12)第三式得到驗證。因此，如果滿足z(t)∈SPQ，當κ滿足zP(tf)=zQ(tf)時，式(17)是對策模型G的納什平衡策略。定理得證。

在PQ-攔截空間里，0<κ<1，根據式(17)，當signzP(tf)=signzQ(tf)時，最優反饋制導律為

(41)

當signzP(tf)=-signzQ(tf)時，最優反饋制導律與κ相關，其中κ可通過求解|zP(tf)|=|zQ(tf)|獲得。

典型的攔截空間分布如圖2所示，其中中心區域為奇異區(Sigular Range)，其物理意義將在下一節進行說明。在奇異區，攔截彈和目標的最優反饋策略是任意的。

圖2 攔截空間分布Fig.2 Distribution of intercept space

2.3 對策空間結構

在給定任意最終脫靶量時，結合式(14)可以得到κ值，將κ值帶入式(17)可以獲得最優制導策略，將最優制導律代入式(18)并積分可以得到最優軌跡。當zP(tf)=zQ(tf)時，取κ值為[0,1]之間任意的數，可以得到給定κ值下的最優軌跡。從不同的最終脫靶量及κ值出發，可以得到最優軌跡集合，該集合填充著對策空間(t,zP,zQ)。典型的對策空間的結構如圖3所示。圖中給出的曲線為奇異區與P-攔截空間、Q-攔截空間及PQ-攔截空間的邊界最優航跡。P-攔截空間、Q-攔截空間和PQ-攔截空間之外的區域為奇異區。當攔截的初始條件位于該區域時，最優導航策略是任意的。不論采用什么樣的制導策略，當零控脫靶量矢量達到邊界最優航跡時，其會沿著邊界最優航跡運動，并保證零脫靶量攔截。從圖3可以看到，當P攔截彈和Q攔截彈的初始零控脫靶量具有相反的符號時，奇異區域會增加，即零脫靶量攔截的區域有所增加。

圖3 對策空間結構Fig.3 Game space structure

3 仿真研究

選擇在初始ZEM矢量位于PQ-攔截空間條件下進行仿真研究，兩枚攔截彈采用本文提出的制導律(表示為LQDG/S)，目標采用“棒-棒”機動策略，即初始時沿某一方向采用最大加速度機動，在時刻(tgo)sw時改變機動方向沿相反的方向以最大加速度機動[5,8,10-12]。假設目標無法獲得攔截彈的準確信息，加速度方向的改變時間隨機，此時目標以一定的概率實現最優機動。在不同的仿真中，機動方向的改變時刻(tgo)sw在剩余飛行時間內以0.03s的時間間隔變化。在仿真中，制導周期為10ms，積分步長為1ms。目標和攔截彈的加速度受最大可用過載的限制。仿真采用的主要參數在表1中給出。

表1 仿真參數

圖4、圖5給出了(tgo)sw=2s時的零控脫靶量和加速度隨時間變化的曲線。圖6給出了脫靶量隨目標機動方向的轉向時間變化關系，圖6中的直線表示脫靶量的均值。其中，脫靶量定義為攔截彈P和Q的脫靶量的最小值。從圖6可以看到，脫靶量的均值約為0.4m。在目標的加速度轉向時間(tgo)sw=0.4s時，脫靶量存在峰值，表明該時刻為目標的最優機動轉向時機。

圖4 零控脫靶量軌跡Fig.4 Trajectory for zero-effort miss distance

圖5 加速度曲線Fig.5 History of acceleration

圖6 脫靶量隨轉向時間的變化曲線Fig.6 Relationship between miss distance and switch time

4 結 論

本文主要研究了2枚攔截彈同時攔截單個目標時在末段制導問題，主要結論為：

(1)將2枚攔截彈同時攔截單個目標的問題建模為“非零和二對一微分對策模型”，并采用最優控制及邊界型微分對策理論對模型進行求解；

(2)攔截空間分解為4個相互交集為空集、且并集覆蓋整個攔截空間的子空間SP、SQ、SPQ和奇異區，并根據納什平衡策略給出了考慮其他攔截彈存在的邊界型微分對策制導律；

(3)當2枚攔截彈在初始時刻的零控脫靶量具有相反的符號時，對策空間存在一個較大的奇異區；

(4)仿真結果表明，采用2枚攔截彈進行攔截時，脫靶量對目標機動方向的轉變時間具有很好的魯棒性。