直覺思維與高中數學問題解決

摘 要：數學是一門抽象性、嚴謹性和系統性的學科，在數學教學中，教師比較重視抽象邏輯思維的訓練，直覺思維往往容易被忽略。本文主要研究了直覺思維的概念，直覺思維與數學問題解決，以及培養學生的直覺思維的策略。

關鍵詞：直覺思維；數學；問題解決；培養方法

一、 直覺思維的定義

直覺思維也稱非邏輯思維，它是一種沒有完整的分析過程與邏輯程序，依靠靈感或頓悟迅速理解并做出判斷和結論的思維。

二、 直覺思維與數學問題解決

在數學問題解決過程中常用的解決問題的方式是先運用直覺找到可能的方法和結論，再運用邏輯推理證明我們的猜想是否正確。彭加勒強調了直覺思維對于數學問題解決的重要性。

（一） 直覺猜想

學生在做題出現思路受阻，問題得不到解決時，此時學生應該從所給的條件和結論入手，大膽猜測證明思路，然后驗證我們的猜想是否正確。在數學解題中經常會用到“構造函數法”。其中，函數的構造完全是憑一個人的經驗和直覺，是不可能用邏輯推理得到。

例1 設函數f（x）的導函數為f′（x），對任意x∈R都有f（x）>f′（x）成立，則（ ）

A. 3f（ln2）>2f（ln3）

B. 3f（ln2）=2f（ln3）

C. 3f（ln2）<2f（ln3）

D. 3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定

解：由經驗和直覺構造函數g（x）=f（x）ex，則：

g′（x）=f′（x）-f（x）ex<0，即g（x）在R上是減函數，所以g（ln2）>g（ln3），即f（ln2）eln2>f（ln3）eln3，即f（ln2）2>f（ln3）3，

所以3f（ln2）>2f（ln3）選A。

（二） 直覺類比

數學中的類比是兩個數學對象之間的空間形式與數量之間的相似。在學習高中數學選修2-1空間向量時候，通過類比必修四所學的平面向量引入了空間向量的概念、表示、相同或相等關系、加減運算及其運算律等內容。

例如在平面幾何中，設在△ABC中，AB，AC互相垂直，則有勾股定理：

AB2+AC2=BC2，設三棱錐A-BCD的三個側面ABC，ACD，ADB兩兩互相垂直，類比平面幾何的勾股定理，得到三棱錐的側面面積與底面面積之間的關系：

平面問題與空間問題進行類比：

多面體多邊形 面邊

體積面積 二面角平面角

面積線段長

因此憑直覺猜出本題答案：S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD

（三） 直覺連接

在解決數學問題時，經常把一些抽象的概念與具體形象之間相結合，也就是把代數問題與幾何圖形相互連接。比如，一看到（x-a）2+（y-b）2=r2，就會想到圓心為（a，b）半徑為r的圓，一看到f′（x）>0會第一反應想到曲線上升，f′（x）<0立馬想到曲線下降。

例2 不等式ax<4x-x2的解集是（0，4]，則a的取值范圍是（ ）

A. a≤0

B. a<4

C. a<0

D. a>0

分析：分別作出y=ax與y=4x-x2的圖像，從圖像上很容易得到結論。

解：令y=ax，y=4x-x2（0≤x≤4），畫出圖形如下

不等式4x-x2>ax的幾何意義是直線處于半圓在（0，4]上的下方可知a<0，所以a的取值范圍是a<0，選C。

這里，把不等式轉化為函數的圖像，解答的關鍵是借助于直覺洞察力來畫出函數的圖像，通過觀察圖像得到答案，這里直覺連接法起了關鍵的作用，把抽象的代數不等式問題與直觀的函數圖像連接使得問題變得簡單。

（四） 直覺整體法

對數學問題進行整體分析，進行有目的、有意識的整體處理，可以幫助我們在解決問題的時候迅速做出直覺判斷，從而使問題得到解決。比如解方程3x+4x=5x，用常規方法根本無從下手，若從整體觀察，產生直覺——3，4，5剛好是一組勾股數，所以可以快速得到方程的解為：x=2

三、 直覺思維的培養

直覺思維形成過程可謂只可意會不可言傳，經常以頓悟的形式出現，教師不能像講授知識那樣培養學生的直覺思維。在數學教學中教師應結合生活經驗，引導學生獨立思考。因此在數學教學中不僅重視培養學生的抽象邏輯思維，還要培養學生的直覺思維，兩者相結合學生的解題能力才會不斷提高。

（一） 要有堅實的基礎知識

直覺思維不是憑空想象的，而是以扎實的數學知識為前提的。如果學生對問題沒有一定的知識儲備，直覺思維就很難產生，從而導致問題得不到解決。知識結構組塊越多，經驗越豐富，直覺的判斷、猜測的成功率也就越大。因此，我們在教學中要抓好學生的數學基礎知識。比如學生學習完同角三角函數的基本關系，布置了一道題目：已知sinx+cosxsinx-cosx=3，求tanx的值，很多學生看到題目無從下手，有部分學生很快得出答案：學生已經學習了tanx=sinxcosx，分子分母同時除以cosx，構造成一個關于tanx的方程，直接解方程進而求出答案。直覺思維是在學生具備了扎實的數學基礎知識和數學結構的基礎上才能產生。

（二） 培養學生觀察能力

有了觀察才會有發現。瓦特觀察燒沸的水會把壺蓋頂開，發明了蒸汽機，萊特兄弟觀察空氣動力學原理發明了飛機，張衡觀察月食發明了地動儀，貝爾觀察了聲音能產生電流的原理發明了電話，愛迪生觀察電流通過某些物體會發光，發明了電燈。中學數學學習中都離不開觀察。在學生進行觀察問題之前，教師要給學生布置清晰的任務，要讓學生逐步養成觀察的習慣。

（三） 培養學生大膽猜想的能力

任何偉大的發現、發明都是在人們大膽猜想的基礎上出現的，猜想不是異想天開，更不是胡思亂想，而是以科學、合理的形式進行猜想。因此在數學教學中，教師要鼓勵學生大膽地“猜想”，在分析和解決數學問題時，學生應該自覺使用直覺思維。

參考文獻：

[1]徐興成.淺談高中數學新課程中類比思維能力的培養[J].基礎教育論壇，2010.

[2]范亞浩，王套.淺談數學直覺思維的特性及在學習中的重要性[J].鄭州：河南科學技術出版社，2013：191.

作者簡介：

張麗，廣東省湛江市，湛江市愛周高級中學。