割補法在高中立體幾何解題中的應用分析

摘 要：高中數學中的立體幾何是一門邏輯性和實用性都很強的科目，對于高中生而言，學習起來是比較吃力的，因此，高中生要懂得靈活運用數學中的各種方法來研究題目并使問題最終得到解決。割補法就是立體幾何中一種非常實用的解題方法，學生可以利用割補幾何體的方法來找出已知的幾何體和未知幾何體之間的內在聯系。割補法是解決空間問題最常用的方法之一，掌握好這種幾何方法對于學生的學習來說有著非常重要的幫助。本文分析探究了學生在高中立體幾何學習中割補法的應用，希望對高中生立體幾何解題能力的提升提供一定的參考和建議。

關鍵詞：割補法；高中；立體幾何；解題

割補法就是對某一圖形進行分割和補充，使其轉化為簡單或者比較特殊的圖形，以方便研究和解題的方法。目前在高中立體幾何推證棱錐體積公式以及證明棱柱的側面積公式等模塊中已經得到了廣泛的應用。學生如果可以運用好這種方法，就可以將立體幾何中一些較為復雜的問題轉化為比較簡單直觀的問題，從而使論證以及運算的過程變得更為簡單。以下通過一些具體的問題進行闡述。

一、 補形法

補形法就是把已知的幾何體補充成為一個新的幾何體，再對新的幾何體進行分析研究，從而使問題得到解決。

（一） 構造正方體

正方體比較規整，也方便計算和證明，高中生在解立體幾何的過程中，可以將復雜的圖形轉換為正方體，這樣就會使解題的過程更加簡單了。

例1 如圖1所示，過正方形ABCD的頂點A作面AC⊥A，設AP=AB，則面PAB和面PCD所成的二面角大小為多少？

學生可以這樣分析：這道題目可以將圖形補充成一個正方體，設這個正方體為ABCDPQRS，如圖1所示那么求二面角就是求正方體的側面ABQP與對面角PQCD所成的角，這個角為45°，因此，我們所求的二面角大小就是45°。

（二） 補臺體為椎體

臺體是由椎體截得的，因此臺體和椎體的特征和性質有著很多的關聯，當學生遇到臺體中一些較為復雜上的問題時，就可以將臺體補充為椎體，從而使問題簡化。

例2 已知三棱臺ABCA′B′C′的側面A′C′CA為梯形，梯形的底角互余，且側面與底面互相垂直，

CA⊥CB，求證：三棱臺的其他兩個側面也相互垂直。

學生會這樣思考：如果三棱臺的側面B′BCC′垂直于面A′ABB′，如圖2所示那么就需要證明這兩個面所成的角是直二面角或者直接用面面垂直的判定定理，不過憑借原圖很難證明，因此可以把三棱臺轉化為三棱錐PABC

證明：由于三棱臺側面A′C′CA的底角互余，因此∠APC=90°，也就是AP⊥CP.

∵面A′C′CA與底面ABC垂直，CA⊥CB，

∴CB⊥面APC，PA面PAC，∴CB⊥AP.

∴AP⊥面BCP，PA面PAB，

∴面PAB⊥面PBC，因此面B′BCC′垂直于面A′ABB′.

二、 分割法

分割法就是把幾何體分成若干部分，通過整體和部分的聯系解決問題。

例3 已知正四面體的棱長為a，求它內部任意一點P到各個面的距離之和。

如圖3所示，連接AP、BP、CP、DP，將正四面體分割成四個三棱錐：三棱錐PABC、PBCD、PABD、PACD，設P到各個面的距離為h1、h2、h3、h4，每個面的面積為S1、S2、S3、S4，S1=S2=S3=S4，那么這幾個棱錐的體積分別表示為：13Sh1、13Sh2、13Sh3、13Sh4，正四面體的體積表示

為69aS，

∴13Sh1+13Sh2+13Sh3+13Sh14=

69aS，

∴h1+h2+h3+h4=63a

例4 已知三棱錐PABC中，AP=4，BP=CP=2，∠BPA=∠CPA=∠CPB=60°，則三棱錐P-ABC的體積是多少？

對于這道題目，學生繪制圖4的圖像，分析這幾種情況：

（1）取BC的中點為D，連接DA和DP，過P作HP⊥DA，易證△ABC的垂足為H，則三棱錐PABC的高為HP，由棱錐體積公式V=13S△ABC·HP可算出三棱錐PABC的體積。

（2）利用直接面解題，面PAD為直接面，則三棱錐PABC的體積表示為PABC=13S△PAD·BC，那么只需求出BC和直接面PAD就可以解出這道題目。

三、 割補法

割補法就是將幾何體先補充成一個比較特殊的幾何體，再將這個特殊的幾何體分割為若干部分。

（一） 從“形上割補”

例5 設m、l為兩條直線，α為一個平面，那么以下命題正確的選項為（ ）

A. 若l⊥m，ma，則l⊥α

B. 若l⊥α，l∥m，則m⊥α

C. 若l∥α，ma，則1∥m

D. 若l∥α，m∥a，則l∥m

學生拿到題目后，可以繪制一個正方體，并在圖中標出條件，如圖5，再分析：這道題目以符號語言出題，在判斷正誤的時候，僅憑對線線以及線面之間的位置關系是很難解決問題的，需要將符號語言轉換成圖形，再對圖像進行分析研究，學生要通過畫圖，將選項中所有的條件放在正方體模型中，從而判斷出選項的正誤。如上圖所示。

（二） 從“量”上割補

例6 如圖6，已知面BCD⊥AB，BC⊥CD，那么有哪些線和面垂直、面和面垂直？

圖6

這道題目是高三學生第一輪復習中線線垂直、線面垂直以及面面垂直的典型例題，但很多學生在解題的時候答案并不完整，其實是由于學生沒有從本質上了解圖像的特點。

在具體的學習過程中，學生要根據圖中的垂直關系進行聯想，比如構建正方體，如圖7，再進行解題，學生通過對正方體中六個面與十二條棱的觀察，可以得出以下結論：

棱AA1、BB1、CC1、DD1和上下底面相互垂直，棱AD、BC、B1C、A1D1和左右兩個面垂直，棱AB、CD、C1D1、A1B1與前后兩個面垂直。

四、 結束語

通過上述的例題可以看出，在幾何的學習和解題中運用割補法，學生可以將一些較為復雜難以下手的幾何體轉換成簡單的幾何體，從而簡化了解題的思路和過程。高中生如果能夠掌握好割補法，在解題的過程中對題目進行充分的分析，就能找到一些十分巧妙的解題方法，使解題變得更加簡單。對于高中生而言，掌握割補法有利于將自身的學習興趣充分激發出來，促進自身思維能力以及創新能力的提升，可以幫助學生全面健康的發展。因此，高中生在立體幾何的學習中，要靈活地運用割補法，不斷提升自身的邏輯思維能力以及空間想象能力，從整體上提升數學能力。

參考文獻：

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[2]方清.割補法在高中立體幾何解題中的應用[J].中學數學教學，2013（5）：43-45.

[3]趙保鐸.割補法在立體幾何解題中的應用[J].甘肅教育，1994（9）.

作者簡介：高博揚，山西省太原市，太原市旱西關南二條太原十二中。