用特殊化思想求解解析幾何題

袁方程 黃俊峰

對一般或抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，采用“以退為進(jìn)”的策略，通過特殊的情形、簡單的事例探求問題的結(jié)論，這一思想稱為數(shù)學(xué)解題中的特殊化思想。在數(shù)學(xué)解題中，恰當(dāng)運(yùn)用這一思想，往往能快速求得問題的真解，并能在探索解題方法等方面收到良好的實(shí)效。我們來看看特殊化思想在解析幾何“定”中的應(yīng)用。

一、動直線過定點(diǎn)問題

小結(jié)先設(shè)法利用特殊位置或極端情況探究出定點(diǎn)的位置，歸納形成猜想，然后從理論上對猜想進(jìn)行嚴(yán)格證明，可大大減少運(yùn)算量。

二、動圓過定點(diǎn)問題

小結(jié)先假設(shè)定點(diǎn)存在，再通過特殊的點(diǎn)P，Q，將以PQ為直徑的圓的方程求出，然后將兩個(gè)圓的方程疊加，求出相應(yīng)的定點(diǎn)，最后對定點(diǎn)給出一般情況下的證明，從特殊入手去探究定值的可能情況，然后再對一般性進(jìn)行證明，是解決定值問題的常用方法。

三、動點(diǎn)在定直線上的問題

題干與解答

小結(jié)這里先由特殊化思路找到點(diǎn)Q所在的直線，當(dāng)橢圓的割線PAB退化為切線時(shí)，點(diǎn)Q退化為切點(diǎn)（事實(shí)上點(diǎn)Q是不能達(dá)到切點(diǎn)的）。于是我們完全有理由猜想這條直線就是兩切點(diǎn)D，E所在的直線，在這條直線的引導(dǎo)下，一種很難想到的方法變得非常自然，非常簡便。

四、動直線與定圓相切問題

小結(jié)本題先給出符合條件的三條直線，求出與這三條直線同時(shí)相切的圓，再代入任意直線AB的方程進(jìn)行檢驗(yàn)，運(yùn)算量大大減小，

五、定角問題

小結(jié)由于一般性總是寓于特殊性之中，所以要研究某一對象或問題時(shí)，就可以通過對特殊或個(gè)別的分析去尋求一般，找到解決問題的方向、途徑或方法，本題若直接處理相當(dāng)困難。

解析幾何中“定”的問題是近幾年高考命題的熱點(diǎn)，這類問題往往很難找到解題的切入口，一般考生經(jīng)過盲目探索之后，只能是望題興嘆，可以說是高考題中的一大難點(diǎn)若能充分挖掘隱藏于數(shù)學(xué)問題中與之相關(guān)的特殊值、特殊式、特殊點(diǎn)（線）、特殊位置、特殊關(guān)系等，就能巧妙地利用這些特殊因素，從而使問題得以順利求解。