留意概率中這些易混概念

歐陽才學

一、“非等可能性”與“等可能性”

對比分析不論是古典概型還是幾何概型，都要求每一個試驗結果出現的可能性相等，這是使用古典概型與幾何概型概率計算公式的前提而在解法1中，基本事件不是等可能發生的，如基本事件（紅，紅，紅）與（紅，紅，黃）發生的概率分別為1/84和3/28，兩者并不相等，因而解法1是錯誤的。解法2是將9面旗子編號（同顏色看成有區別），每個基本事件是等可能發生的，所以解法2是正確合理的。

二、逐個抽取與一次抽取

對比分析本題是考生易錯的一個題型，產生錯誤的主要原因是對何時看成有序、何時看成無序弄不清楚。上述解法是將（I）（II）都看作有序，（Ⅲ）看作無序，但顯然（II）與（Ⅲ）的意義相同，因而（Ⅲ）的解法也適用于（II），這說明（II）也可以看成無序來解一般地，在涉及逐次抽取與一次抽取、有序與無序等概率問題時，考生可參考這樣的思路：逐次抽取（抽后不知結果）按有序處理，一次抽取按無序處理;無論有序還是無序，計算總基本事件數與所求事件含有的基本事件數須持同一看法。

三、古典概型與幾何概型

對比分析古典概型與幾何概型作為兩種不同的概率模型，有相同點，即都要求試驗結果出現的等可能性，但也有區別。以本題為例，在古典概型中由P（AUB）=P（A）+P（B），可知事件A與B必互斥再由兩者概率和為1得兩者對立，因而答案選C。在幾何概型中，滿足P（AUB）=P（A）+P（B）=1的兩事件不一定互斥，更不一定對立，所以應選D。

由此可見，兩種概型之間確實存在區別，忽略了這點，將會導致錯誤的出現。

四、條件概率P（B|A）與積事件的概率P（A·B）

對比分析“條件概率P（B|A）”與“積事件的概率P（A·B）”是兩個容易產生混淆的概念。P（B|A）表示在縮減的樣本空間中，作為條件的事件A已經發生的條件下事件B發生的概率;P（A·B）表示在樣本空間中，事件A與事件B同時發生的概率。本題中“第二次才取到黃球”顯然表示“第一次取到白球，且第二次取到黃球”，故解法2正確。

區別條件概率與積事件概率的方法主要是兩點：一是看題目中是否有“……發生的條件下”之類的話;二是根據題意，結合生活常識分析事件間的關系。

五、超幾何分布與二項分布

對比分析本題的幾個小題涉及超幾何分布和二項分布，產生錯誤的主要原因是對獨立重復試驗的特征、超幾何分布與二項分布的區別等問題認識不清。考生在復習中要弄清如下問題：

①超幾何分布，是指N件產品中有M件次品，從中任取n件，其中次品件數X的概率公式抽取n件一般指一次性抽取，若是無放回逐個抽取，則由乘法原理得公式結果與一次性抽取相同故在超幾何分布中，抽取n件也可認為是無放回逐個抽取，但無放回逐個抽取與一次抽取并不完全相同，前者常表示有序，產生的可能結果較復雜，而后者表示無序，產生的可能結果相對簡單。

②二項分布要具備兩個條件：一是n次試驗相互獨立;二是每次試驗只有A與A兩個結果，P（A）=p，無放回逐個抽取滿足第二個條件，但不滿足第一個條件。

③當總量N很大且抽取的數量n相對較小時，無放回抽取與有放回抽取差別不大，此時，本來服從超幾何分布的，可近似看成服從二項分布。