不定積分的運算技巧

陳 飛

(商丘職業技術學院，河南 商丘 476100)

引言

不定積分是高職院校數學課程的核心,也是微積分的重要內容.不定積分的計算方法多種多樣,其中換元積分法和分部積分法是重點和難點,學生在學習時有一定困難,且不能熟練地運用各種計算方法.合理的運用不定積分計算方法可以降低求解問題的難度.本文針對常用的解題技巧進行分析探討,并結合具體例題進行講解.

1 求解方法概述

2 例說相關技巧

分析:可以通過湊微分,把積分變量湊成d(1+x2),用新變量u替換1+x2.

設u=(1+x2),于是：

技巧: 運用第二換元積分法,關鍵是選擇合適的變量代換函數小x=φ(t).對于x=φ(t),要求單調可微,且φ′(t)≠0,其中t=φ′(x)是x=φ(x)的反函數.

分析:為了去掉根號,可以引入關于未知量t的三角函數替代x,從而簡化計算.

解:令x=atant,則dx=asec2tdt,于是：

分析:被積函數為冪函數和反三角函數的乘積,故把反三角函數選作u,即u=arcsinx,則dv=xdx.

分析:在計算不定積分時,針對題目的特點可以多次使用分部積分法.

=x2ex-2xex+2ex+C.

分析:可以先采用換元積分法,再采用分部積分法進行求解.

=2tln(1+t2)-4t+4arctant+C

解法一(湊微分法):

=cscx-cotx+C

解法二(分部積分法)：

=cosxcotx-cotx+sinx+C

解法三(第二換元積分法):

技巧:以上3種解法得出的解的形式是不同的,但是，解得本質是一樣的,通過變換可得：

cosxcotx-cotx+sinx+C=cscx-cotx+C

根據不同的求解方法,求解出來的積分結果的形式是不一樣的,但是，這些結果是正確的.我們只需對所求的結果進行求導,看是否等于被積函數[5].

解法一(換元積分法):

解法二(湊微分法):

解法三(代數換元法):

解法四(分部積分法):

3 結 語

不定積分的求解方法靈活多變,我們可以針對不同的被積函數類型,采取最有效的求解方法計算出不定積分.通過學習不定積分的運算技巧,可以培養學生的數學思維,增加學生的數學素養,從而提高分析和解決問題的能力.在求解不定積分時,合理地運用計算方法,并對所求的結果進行檢測,從而熟練掌握不定積分的運算技巧.