錐體上滾實驗的力學分析

師玉榮，馬麗珍

(中國海洋大學 信息科學與技術學院 物理系，山東 青島 266100)

很多科技館和物理演示實驗室有“錐體上滾”實驗，視覺上看到錐體從V型軌道較低的閉口端自動滾到軌道較高的開口端. 現有的實驗教材和網絡資源解釋該實驗的原理和推導錐體上滾的條件是基于能量最低原理，表面上錐體沿著軌道上升了，但是由于錐體本身形狀的原因，滾動過程錐體的重心是下降的. 很多學生疑惑哪個力使錐體有水平方向的分運動. 本文根據教學過程中遇到過的學生疑惑問題，分析了錐體上滾運動的動力學方程，并通過受力分析方法求解出錐體上滾的條件，結果與通過能量最低原理(幾何方法)得出的結論一致.

1 利用能量最低原理分析上滾條件

錐體上滾實驗沒有違背能量最低原理，錐體上滾是錐體與軌道的形狀配合給人以錐體向上滾動的錯覺，仔細觀察會發現，上滾過程錐體的重心是降低的. 實際上，只有當V型導軌夾角、軌道與水平面的夾角調節到合適的角度時，即達到上滾的條件時，錐體才會上滾，錐體滾到軌道最高處時重心最低，重力勢能最小，所以可以根據重心是否降低來求解錐體上滾條件[1].

錐體上滾的條件與實驗裝置的3個夾角有關. 如圖1～3所示，設錐體頂角為α，兩導軌夾角為β，導軌平面與水平面間的夾角為γ，設錐體在軌道上從位置AB滾到位置CD時(A，B，C，D為錐體表面與軌道的接觸點)，沿軌道角平分線方向前進的距離為l.

圖1 過錐體與軌道的接觸點和錐體中軸線的截面圖

圖2 過軌道平面的俯視圖

圖3 過兩軌道角平分線的豎直面

需要特別指出的是，當求解錐體上滾的條件時，應先找到錐體不滾動的條件，也就是錐體放到軌道任意位置處重心高度相同，此時錐體在軌道任意位置都平衡.

如前所述，先考慮錐體只下降不滾動的情況，也就是不受靜摩擦力的作用，同時由于接觸面比較光滑，即使有滑動摩擦力存在也非常小. 錐體只受重力和支持力，此時圖1中錐體與軌道接觸點和錐體中軸線所在的平面在豎直面內，則根據幾何關系可知：AB位置和CD位置之間的高度差h為

(1)

而AB位置和CD位置對應軌道的高度差H為

H=lsinγ.

只要滿足H

(2)

錐體就能從軌道的閉口端向開口端滾動，也即錐體向低處運動. 如果實驗裝置的γ,β,α這3個角可調，該結論在實驗中很容易觀察和驗證[2].

2 通過受力分析研究上滾條件

通過受力分析得出錐體上滾的條件需要做簡化，在實驗中，錐體是滾動的，錐體與接觸面之間沒有相對滑動，它們之間的摩擦力是靜摩擦力. 因為要依據物體滾動的狀態判斷靜摩擦力的方向，可以先考慮理想的情況. 當沒有摩擦時，錐體可以在軌道的任一位置處于受力平衡. 這時V型導軌夾角、軌道與水平面的夾角需要滿足某種條件. 當然從滾動的力學條件來看，如果有摩擦力，錐體對質心合外力矩不為零，它將繞過質心的軸轉動，也即錐體將滾動. 這種情況錐體只受軌道給它的支持力和重力2個力，把支持力分解為水平方向和豎直面內垂直軌道的面的分量.

為了便于說明，先建立坐標系，如圖4所示，在水平面內軌道夾角的角平分線的水平分量為x軸，水平面內垂直該角平分線方向為y軸，豎直向上為z軸. 只要分析出錐體在水平方向所受合外力指x軸的正方向，錐體就可以向x軸正向加速運動. 由于重力在水平方向沒有分力，所以只需分析軌道對錐體的支持力.

圖4 俯視圖(水平面)

設錐體頂角為α，兩導軌夾角角度為β，導軌平面與水平面間的夾角為γ，圖5中N表示錐體受到軌道的支持力，把N分解成垂直軌道的豎直面內的分量N1和垂直軌道的水平面內的分量N2. 圖6側視圖中的N1為支持力在豎直面內的分量，N1又可以分解成N1z和N1xy，容易分析出N1垂直軌道與z軸夾角為γ，N1在x軸的分量為

(3)

圖5 錐體與軌道的接觸點和錐體的中軸線決定的平面

圖6 側視圖(過1條軌道的豎直面)

圖4俯視圖中的N2為支持力在水平面內的分量，N2在x軸的分量為

(4)

考慮到錐體與軌道有2個接觸點，只要錐體受到的水平方向合力指向開口端，錐體就可以“上滾”，所以錐體上滾的條件表達為

(5)

再考慮軌道對錐體的支持力過錐體的中軸線，如圖5雙錐體在豎直面的中截面圖所示，可列出方程為

(6)

因此由(5)式以及(6)式得到錐體上滾的條件為(2)式.

3 錐體運動的動力學分析

錐體上滾的運動可視為剛體的平面運動[3]，即視為錐體的平動和錐體繞質心軸(中心軸)的定軸轉動的合成.

3.1 錐體的平動

錐體向開口端平動是因為水平方向有指向開口端的合力，只要角度調節合適，可以發現

(7)

由(7)式可知：

1)錐體的頂角α確定的情況下，當β越大，γ越小，Fx越大.

2)實驗時調節V形導軌的夾角β以及導軌與水平面之間的夾角γ，當滿足Fx>0時，即滿足上滾條件(2)式，根據剛體的質心運動定理

Fx=macx，

(8)

錐體就有向開口端平動的加速度.

3.2 錐體的滾動

錐體上滾條件的實質是質心具有了水平向開口端的平動加速度的條件，也即只考慮了錐體的平動，實驗中錐體做滾動. 錐體滿足上滾的條件時，只要它有平動的趨勢就將受到靜摩擦力，沿軌道的切線方向指向V型軌道的閉口端，該力對錐體的質心軸的力矩是動力矩，使錐體滾動.

關于滾動問題，也可以把過錐體與軌道的2個對稱的接觸點當做參考軸，由于錐體滿足上滾條件時，其質心總在滾動方向上超前錐體與軌道的接觸點，所以重力的力矩對選定的軸是動力矩，使錐體滾動[4].

4 結束語

通過錐體上滾的受力分析可以看出，利用守恒定律解釋力學問題很簡潔，但是不能給出物體運動的細節情況，受力分析可以更深刻地展現物體的運動原因. 另外，可以通過百度查到很多物理演示實驗的原理，但是教師應該在教學中充分引導學生用自己的觀點解決問題，也重視學生提出的問題，從而教學相長.