用DIS驗證簡諧運動中的機械能守恒定律

張建峰，韓黎源

(1.南京外國語學校方山分校，江蘇 南京 210008；2.南京師范大學 物理學院，江蘇 南京 210023)

機械能守恒定律是高中物理中重要的定律. 新課標中明確指出“通過實驗，驗證機械能守恒定律”[1]. 教材中對機械能守恒定律的定義為[2]：“在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變.”在實際教學中，驗證機械能守恒的實驗往往只限于重力做功的系統，之所以沒有彈力做功，主要是由于彈簧彈性形變量難以準確測量而導致彈性勢能難以準確計算. 但隨著傳感器技術的普及，該情況得以解決，筆者運用數字化信息系統驗證既有重力做功又有彈力做功的系統中，機械能保持不變.

1 原理說明

運動傳感器可自動采集不同時刻重物與傳感器之間的距離，并定義為位置. 而速度和加速度的值是由Logger Pro軟件基于位置與時間的函數關系，求一次導和二次導得出. 力傳感器可采集到傳感器在不同時刻所受的力，即彈簧彈力F.

2 實驗器材及操作

2.1 實驗器材

實驗需要的主要儀器有：勁度系數較小的輕質彈簧、200 g的鉤碼、雙范圍力傳感器、運動傳感器、電腦、數據采集器及數據線、Logger Pro軟件、鐵架臺、固定裝置(用于固定力傳感器). 實驗裝置如圖1所示.

圖1 實驗裝置

2.2 實驗步驟

1) 如圖1安裝好實驗器材，并將運動傳感器調到“正常”模式.

2) 打開Logger Pro軟件，界面左側的數據欄會自動顯示出：“時間”、“位置”、“速度”、“加速度”、“力”，設置采集時間，建議為5 s.

3) 取下鉤碼，點擊“實驗”-“歸零”-“雙范圍力學傳感器”，對力傳感器進行歸零.

4) 將鉤碼掛在彈簧上，并捏住鉤碼兩端將鉤碼抬起，直到彈簧處于自然長度，力傳感器示數為零，測出此時重物與運動傳感器間的距離x0=0.35 m.

5) 給系統初始的彈性勢能，鉤碼沿著豎直方向做簡諧運動，點擊“采集”按鈕，開始采集數據.

6) 5 s后，數據采集結束. 定義彈簧伸長量，具體操作為：點擊“數據”欄中的“新計算欄”，在名稱和短名中輸入彈簧伸長量Δx，單位為m，公式為：0.35-“位置”. 如圖2所示.

圖2 彈簧伸長量的定義

7) 繪制F-Δx圖像，并對其進行直線擬合，由圖像斜率得出彈簧勁度系數k.

8) 定義動能、重力勢能、彈性勢能及機械能.

9) 根據實驗數據，繪制動能、重力勢能、彈性勢能、機械能的函數圖像.

3 實驗數據處理與分析

3.1 x-t圖像、v-t圖像的分析比較

圖3 v-t及x-t圖像

繪制v-t圖像和x-t圖像,如圖3所示，并對其進行曲線擬合，得出x與t的函數關系為x=0.04 sin (8.77t+4.85)+0.22，v與t的函數關系式為v=0.33sin (8.76t+0.18). 簡諧運動位置與時間的函數式應為x=Asin (2πft+φ)，而實驗得到的函數式為x=Asin (2πft+φ)+x0，這是由于運動傳感器所測量的位置(即x的值)不是重物離開平衡位置的距離，而是重物與傳感器的距離，因此x0=0.22 m表示物體處于平衡位置時與傳感器的距離.

3.2 F-t圖像與x-t圖像的分析比較

繪制F-t圖像(如圖4所示)，對其曲線擬合后的關系式為

F=0.62sin (8.78t+1.83)+1.96.

圖4 F-t圖像

從函數圖像中可以看出，簡諧運動中彈力均為正，因此彈簧一直處于拉伸狀態. 實驗所得的力與時間的函數關系式符合F=Asin (2πft+φ)+F0的形式(其中F0=1.96 N)，可見F0應為重物處于平衡位置時彈簧的彈力，也就是鉤碼所受的重力. 查閱當地重力加速度g=9.8 N/kg，可求得F0的理論值應為F0=mg=1.96 N，可見理論值與實驗值吻合.

因F回=F-F0，x位移=x-x0,繪制F回-t以及x位移-t的函數圖像(如圖5所示)，則回復力與位移方向相反并總是指向平衡位置.

圖5 F回-t和x位移-t圖像

3.3 F-Δx圖像

繪制F-Δx圖像,如圖6所示，并對其進行直線擬合，得出關系式為F=15.38Δx，因此彈簧彈力與伸長量成正比，由斜率得彈簧的勁度系數k=15.38，與之前求得的k=15.38相吻合.

圖6 F-Δx圖像

3.4 Ep1-t圖像與Ep2-t圖像的分析與比較

選取桌面為重力零勢能點，整個簡諧運動中，彈簧一直處于拉伸狀態. 從圖7中可以看出，彈性勢能與重力勢能的變化周期相同，當重物處于最高點時，彈性勢能最小，重力勢能最大；當重物處于最低點時，彈性勢能最大，重力勢能為最小，如圖7所示.

圖7 Ep1-t和Ep2-t圖像

3.5 Ek-t圖像與Ep2-t圖像

從圖8中可以直接觀察到，彈性勢能函數圖像的變化周期是動能的2倍，重物處于最低點和最高點時，動能均為零，符合簡諧運動的規律.

圖8 Ek-t和Ep2-t圖像

3.6 E-t圖像

機械能與時間的函數圖像是1條與時間軸平行的直線，如圖9所示，對其線性擬合，所得的直線斜率也為零，可見簡諧運動過程中，彈簧振子系統內的動能、重力勢能、彈性勢能相互轉化，但總的機械能保持不變.

圖9 E-t圖像

4 結束語

利用DIS驗證簡諧運動中機械能守恒定律的實驗，不僅可讓學生直觀地感受到簡諧運動規律、彈力與彈簧伸長量的關系，還可幫助學生全面準確地把握機械能守恒定律，促進學生對物理定律深入理解的同時，也提高了學生的實驗探究能力，激發了學生對物理學科的興趣.